skin effect & skin depth（趋肤效应与趋肤深度）

概念

1. 现象与机理

直流电流在均匀导体截面上均匀分布。交变电流在导体内部产生随时间变化的磁场，按法拉第电磁感应定律（Faraday’s law）感应出涡流（eddy current）；涡流在中心附近与原电流反向、在表面附近与原电流同向，合电流因而向表面集中，频率越高越明显 [1]。这一现象称为趋肤效应（skin effect）。

电场的两个来源。 导线中的轴向电场与电流密度写作 $\mathbf{J}=\sigma (-\nabla \Phi )+\sigma (-j\omega \mathbf{A})$ [2]：

• $-\nabla \Phi$ 由导线两端的电位差给出，$\Phi$ 在每个截面上为常数，这一项在截面上均匀。
• $-j\omega \mathbf{A}$ 由交变磁场感应，包括导线自身电流的磁场和其他导体的磁场。自身电流的磁场环绕导线轴线，轴心附近的细丝被导线内部的磁通环绕，表面的细丝不被环绕，这一项因而在轴心最强、表面最弱 [1]。

两项同时存在，电流分布是两者共同作用的稳态结果，不存在”先有均匀电流、再感应出涡流”的先后过程。把合电流拆成”与直流分布相同、携带全部净电流的均匀部分”与”净电流为零的其余部分”，是为说明机理所作的约定；后者在轴心为负、表面附近为正，在导线远端闭合，即图中的涡流环路。

电流由谁驱动不影响趋肤分布。 孤立圆直导线的解只用到表面切向磁场 $H_{\phi }(a)=I/(2\pi a)$ 与表面电场，其中 $I$ 是导线的总电流 [3]；电流由电源驱动还是由感应电动势驱动，并不出现在方程里。无线电能传输线圈的损耗模型据此把交流损耗分为两项：线圈电流 $I$ 引起趋肤效应损耗，线圈所处的外部磁场 $H$ 引起邻近效应（proximity effect，见 proximity-effect）损耗，两者正交 [4]；发射线圈与接收线圈的损耗都按各自的交流电阻计入 [5]。

• 发射线圈：电源决定总电流；导线内的不均匀分布来自自身电流的磁场与同一线圈相邻匝的磁场 [5]。接收线圈电流的磁场对发射导线而言同样是外部场，归入邻近效应。
• 接收线圈：发射线圈的磁场沿导线感应电动势，驱动净电流流过负载；这一净电流的自身磁场同样使电流集中于表面 [4]，发射线圈与相邻匝的磁场形成邻近效应。

图 1。（a）示意：圆导线斜视剖切，总电流达到峰值的时刻。深蓝色为环向自磁场；浅蓝色为套链局部磁通的感应环流；红色为轴向合电流。磁场从表面向内衰减，合电流在整圈表面增强、在轴心减弱。（b）半径 $a=3\delta$ 时按 ac-resistance 的贝塞尔解算出的电流密度（以直流值为单位）：总电流峰值时刻轴心为 −0.18、表面为 1.77；总电流过零时刻（虚线）导线内仍有正负相消的电流。图（a）为示意 [6]。

2. 趋肤深度

良导体中电流密度幅值降到表面值 1/e（36.8 %）处的深度称为趋肤深度（skin depth）[7]：

$$\delta =\sqrt{\frac{2}{\omega \mu \sigma }}=\frac{1}{\sqrt{\pi f{\mu }_0{\mu }_r\sigma }}\text{\hspace{1em}(1)}$$

符号	含义	单位
$f$、$\omega =2\pi f$	频率、角频率	Hz、rad/s
$\sigma$	电导率（conductivity），电阻率的倒数；铜约 $5.8\times 10^7$	S/m
$\mu ={\mu }_0{\mu }_r$	磁导率；${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}$ H/m，${\mu }_r$ 为相对磁导率（无量纲）	H/m

$\delta \propto 1/\sqrt{f}$：频率升高 4 倍，趋肤深度减半。$\sigma$ 或 ${\mu }_r$ 越大，$\delta$ 越小。

铜与铝的 δ 随频率变化，双对数坐标下斜率为 −1/2；黑点为 6.78 MHz。

3. 平板导体中的分布

良导体中位移电流可忽略，由安培定律与法拉第定律得电流密度方程 ${\nabla }^2\mathbf{J}=j\omega \mu \sigma \mathbf{J}$ [3]。厚度远大于 $\delta$ 的平板中电流只随深度 $x$ 变化，方程化为一维：

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}J}{\mathrm{d}{x}^2}=j\omega \mu \sigma J=\frac{2j}{{\delta }^2}J\Rightarrow J(x)=J_S{e}^{-(1+j)x/\delta }=J_S{e}^{-x/\delta }{e}^{-jx/\delta }\text{\hspace{1em}(2)}$$

另一个解 $e^{+(1+j)x/\delta }$ 随深度无限增长，舍去 [3]。$J_S$ 为表面处电流密度（A/m²）。

• $e^{-x/\delta }$：幅值衰减。$x=\delta$、$3\delta$、$5\delta$ 处分别为表面值的 36.8 %、5.0 %、0.67 %；按幅值积分，$4\delta$ 以内含 98 % [1]。
• $e^{-jx/\delta }$：相位每深入一个 $\delta$ 滞后 1 rad（约 57°）。

场进入导体约 4–5 个趋肤深度 [2]。圆导线中方程取柱坐标形式，解为贝塞尔函数，见 ac-resistance。

示意：厚平板良导体的两个剖切面。剖切面底色与箭头长度同按 $|J|/|J_S|=e^{-x/\delta }$ 取值，$\delta$、$2\delta$、$3\delta$、$4\delta$ 四条虚线处分别为 36.8 %、13.5 %、5.0 %、1.8 %，与本节数值一致。电流密度 $J$ 沿 $+\hat{z}$、表面切向磁场 $H$ 沿 $-\hat{y}$，两者正交；方向关系由 $\nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{J}$ 给出的 $J_z=\partial H_y/\partial x$ 及其深度积分 $K_z={\int }_0^{\infty }{J}_z\mathrm{d}x=-H_s$ 定出。箭头画的是幅值包络，不是瞬时电流——瞬时值 $J_S{e}^{-x/\delta }\cos (\omega t-x/\delta )$ 在深过 $\pi \delta$ 处反向 [8]。

平板良导体中 |J|/|J_S|（实线，左轴）与相对表面的相位（虚线，右轴）随 x/δ 的变化。

4. 数值：6.78 MHz

材料参数取 AEDT 2026 R1 材料库：铜 $\sigma =5.8\times 10^7$ S/m、${\mu }_r=0.999991$；铝 $\sigma =3.8\times 10^7$ S/m、${\mu }_r=1.000021$。

频率	铜 $\delta$	铝 $\delta$
50 Hz	9.35 mm	11.5 mm
1 MHz	66.1 µm	81.6 µm
6.78 MHz	25.4 µm	31.4 µm

1 oz/ft² 铜箔厚 34 µm [9]，在 6.78 MHz 下约 $1.3\delta$，不满足”厚度远大于 $\delta$“。

5. 适用边界

• 良导体：$\sigma \gg \omega \epsilon$，多数金属满足 [7]；铜在 6.78 MHz 下 $\sigma /(\omega {\epsilon }_0)\approx 1.5\times 10^{11}$。不满足时（如生物组织）见 wave-attenuation-in-lossy-tissue。
• 厚度：§3 的指数分布要求厚度远大于 $\delta$；厚度仅数个 $\delta$ 时两侧场相互影响，须按实际厚度求解。
• 线性材料：$\mu$、$\sigma$ 为常数；铁磁材料 ${\mu }_r$ 随磁场变化，$\sigma$ 随温度变化。

参考

1. “Skin effect,” Wikipedia.
2. Ansys, Maxwell Help, Release 2026 R1, 2026, p. 4141, “Skin Depth for an AC Magnetic (Eddy Current) T-Omega Solution”、p. 4242, “Components of Current Density”、p. 4246, “Eddy Currents and Skin Depth”.
3. S. Ramo, J. R. Whinnery, T. Van Duzer, Fields and Waves in Communication Electronics, 3rd ed. New York, NY, USA: Wiley, 1994, §3.16 式 (8)–(16)、§4.4 式 (3)、§4.5 式 (1)、§4.5 式 (6).
4. Q. Chen, X. Zhang, W. Chen, C. Wang, “Winding loss analysis of planar spiral coil and its structure optimization technique in wireless power transfer system,” Scientific Reports, 12, 19418, 2022.
5. A. Abdolkhani, “Fundamentals of inductively coupled wireless power transfer systems,” in Wireless Power Transfer – Fundamentals and Technologies. Rijeka, Croatia: InTech, 2016.
6. skin-effect-skin-depth.py，本卡出图脚本。
7. D. M. Pozar, Microwave Engineering, 4th ed. Hoboken, NJ, USA: Wiley, 2012, 式 (1.60).
8. slab-current-decay-3d.py，本卡出图脚本。
9. “Printed circuit board,” Wikipedia.

关联

• 相关概念：ac-resistance · proximity-effect · bessel-function · litz-wire · stranded-vs-solid-conductor
• 仿真操作：mesh-and-solving