Bessel function（贝塞尔函数）

概念

1. 从哪里来

在圆柱形几何中，只随半径 $r$ 变化的量常满足零阶贝塞尔方程（Bessel equation）[1]：

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}w}{\mathrm{d}{r}^2}+\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}r}+k^{2}w=0\text{\hspace{1em}(1)}$$

它的两个独立解是第一类贝塞尔函数 $J_0(kr)$ 与第二类贝塞尔函数 $Y_0(kr)$。圆导线中的交流电流密度就满足这个方程，$k=(1-j)/\delta$，见 ac-resistance。

$J_0$ 可由级数计算 [1]：

$$J_0(z)=1-\frac{(z/2{)}^2}{(1!{)}^2}+\frac{(z/2{)}^4}{(2!{)}^2}-\cdots \text{\hspace{1em}(2)}$$

2. 实数宗量：衰减的振荡

$J_0$、$J_1$、$Y_0$ 在实数宗量下的图像 [2]。

• $J_0(0)=1$，之后像余弦一样振荡，幅度按 $1/\sqrt{x}$ 缓慢减小 [1]。
• $Y_0$ 在 $x\to 0$ 时趋于 $-\infty$。实心导线包含轴心，轴心处电流密度必须有限，所以只取 $J_0$，舍去 $Y_0$ [3]。空心管导体不含轴心，两者都要用。

3. 圆导线中的复数宗量：单调增长

导线内宗量为 $kr=(1-j)r/\delta$。沿这个方向，$J_0$ 不再振荡，模随 $r/\delta$ 单调增长；$x=r/\delta$ 较大时近似为 $|J_0|\approx e^x/\sqrt{2\pi \sqrt{2}x}$，由汉克尔函数渐近式得到 [1]。$J_0((1-j)x)$ 的实部与虚部称为 Ber 与 Bei 函数 [3]。

左：$|J_0((1-j)x)|$（实线）与渐近式（虚线），纵轴为对数；右：实部与虚部。

电流密度 $J(r)\propto J_0(kr)$，因此导线表面的电流密度比轴心大 $|J_0(ka)|$ 倍：

电流密度幅值相对表面值的分布。a = 0.5δ 时轴心为表面的 99.6 %，a = 3δ 时为 25 %，a = 10δ 时为 0.04 %。

由指数增长可知，表面以下深度 $a-r$ 处的幅值约为表面值乘 $e^{-(a-r)/\delta }$，与平板导体的结果一致，见 skin-effect-skin-depth。

4. 交流电阻推导用到的两条性质

• 求总电流时用到 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}[z{J}_1(z)]=z{J}_0(z)$，即 ${\int }_0^a{J}_0(kr)r\mathrm{d}r=\frac{a}{k}{J}_1(ka)$ [1]。
• 宗量大时 $J_0/J_1\to j$，交流电阻趋于表面电阻给出的值 [1]；[3] 用 $J_0/J_0^{\prime }\to -j$ 表述同一结果（$J_0^{\prime }=-J_1$）。

参考

1. F. W. J. Olver et al., Eds., NIST Digital Library of Mathematical Functions, ch. 10, “Bessel Functions”, 式 (10.2.1)、式 (10.4.4)、式 (10.6.6)、式 (10.17.3)、式 (10.17.5).
2. bessel-function.py，本卡出图脚本。
3. S. Ramo, J. R. Whinnery, T. Van Duzer, Fields and Waves in Communication Electronics, 3rd ed. New York, NY, USA: Wiley, 1994, §4.4 式 (9)、§4.5.

关联

• 相关概念：ac-resistance · skin-effect-skin-depth