AC resistance（交流电阻）

概念

1. 定义

直流电阻 $R_{dc}$：电流在截面上均匀分布时的电阻。长 $\ell$、截面积 $A$、电导率 $\sigma$ 的导体，$R_{dc}=\ell /(\sigma A)$。

交流电阻 $R_{ac}$：按时间平均损耗定义 [1]：

$$P=\frac{1}{2\sigma }{\int }_V\mathbf{J}\cdot {\mathbf{J}}^{\ast }\mathrm{d}V,R_{ac}=\frac{P}{I_{rms}^2}=\frac{2P}{I_{peak}^2}\text{\hspace{1em}(1)}$$

$\mathbf{J}$ 为电流密度相量，$P$ 为时间平均损耗，$I_{peak}$ 为总电流峰值，$I_{rms}=I_{peak}/\sqrt{2}$。电流均匀时 $R_{ac}=R_{dc}$；趋肤效应（见 skin-effect-skin-depth）与邻近效应（proximity effect，见 proximity-effect）使电流分布不均，同一总电流下损耗增大，$R_{ac}>R_{dc}$ [2]。Maxwell AC Magnetic 矩阵中的 R 即按此定义，按每匝 1 A 峰值电流计算 [1]。

上式对任意几何成立，但要先求出电流分布，因此不存在与几何无关的闭式 [3]。有解析结果的只是少数情形：孤立圆直导线（§4）；厚度与曲率半径远大于趋肤深度的导体，可用表面电阻近似（§2）；层状绕组常用 Dowell 一维近似 [4]。邻近效应显著或几何复杂时须数值求解。

2. 表面电阻

定义。 对厚度远大于 $\delta$ 的平板导体，把表面电场与单位宽度上流过的总电流之比定义为单位长度、单位宽度的内阻抗 $Z_s$，其实部即表面电阻（surface resistance）$R_s$ [3]：

$$J_s={\int }_0^{\infty }J\mathrm{d}x=\frac{J_S\delta }{1+j},Z_s=\frac{E(0)}{J_s}=\frac{1+j}{\sigma \delta },R_s=\frac{1}{\sigma \delta }=\sqrt{\frac{\pi f\mu }{\sigma }}\text{\hspace{1em}(2)}$$

$J_s$ 为表面电流线密度（A/m），$E(0)=J_S/\sigma$ 为表面电场。$R_s$ 等于厚 $\delta$ 导体层的直流方阻 [3]：指数衰减的电流在损耗上等效于厚 $\delta$ 的均匀电流层 [5]。方阻常记作 Ω/sq 或 Ω/□，量纲为 Ω [6]。

$R_s$ 与 $R_{ac}$ 都由”损耗 ÷ 电流的平方”得到，区别在用哪个电流：$R_{ac}=2P/|I{|}^2$ 用整根导体的损耗与总电流，是电路中与该导体等效的串联电阻，同一电流下产生同样的损耗，含几何；$R_s=2p_s/|J_s{|}^2$ 用单位表面积的损耗 $p_s$ 与单位宽度上的电流 $J_s$，只由材料与频率决定，不含导体尺寸。

用途。 已知导体表面的切向磁场 $H_t$（可由把导体当作理想导体的无损场解给出），损耗为

$$P=\frac{R_s}{2}{\oint }_S|H_t{|}^2\mathrm{d}s\text{\hspace{1em}(3)}$$

该式适用于任意形状，条件是转角与弯曲半径不小于 $\delta$ 量级 [5]；传输线单位长度电阻即由它的线积分形式给出 [5]。有限元软件的阻抗边界按同一方式用表面切向磁场计算损耗 [1]。$R_s\propto \sqrt{f/\sigma }$ 也用于比较不同材料或镀层在同一频率下的损耗。

与 $R_{ac}$ 的关系。 若电流沿宽 $w$ 的表面均匀分布、长 $\ell$，则 $I=J_{s}w$，$P=\frac{R_s}{2}|J_s{|}^{2}w\ell$，代入定义得

$$R_{ac}\approx R_s\frac{\ell }{w}=\frac{\ell }{w}\sqrt{\frac{\pi f\mu }{\sigma }},\frac{R_{ac}}{R_{dc}}\approx \frac{A}{w\delta }\text{\hspace{1em}(4)}$$

即 $R_{ac}$ 随 $\sqrt{f}$ 增长，$R_{ac}/R_{dc}$ 等于实际截面积与”周长 × δ”之比。成立条件：厚度与曲率半径远大于 $\delta$，且电流沿周长均匀 [3]。沿周长均匀只在孤立的轴对称导体中由对称性保证，如孤立圆导线、同轴线的内外导体、圆管；矩形截面、扁带的边角处电流集中，绕组中相邻导线的邻近效应也使电流偏向一侧，这些情形须数值求解。圆导线取 $w=2\pi a$ 即得 §4 的高频首项。

3. 频率从哪里进入

频率只通过 $\delta =1/\sqrt{\pi f\mu \sigma }$ 进入。孤立圆导线的方程按 $r/a$ 无量纲化后只剩参数 $a/\delta =a\sqrt{\pi f\mu \sigma }$，所以 $R_{ac}/R_{dc}$ 是 $a/\delta$ 的单变量函数：同一条曲线适用于任意线性材料、半径与频率。低频时比值 $\approx 1+(a/\delta {)}^4/48$，高频时 $\approx a/(2\delta )\propto \sqrt{f}$。

$a$ 越小，$a/\delta$ 越小，$R_{ac}$ 越接近 $R_{dc}$。把 §4 的方程按 $r/a$ 无量纲化，代表感应（涡流）的一项系数为 $\omega \mu \sigma a^2=2(a/\delta {)}^2$：半径越小，导线内部交变磁通越少，涡流项越弱。$a\lesssim \delta$ 时整个截面都在一个趋肤深度内，电流几乎均匀。

4. 孤立圆直导线的精确解

① 方程。 电流只有轴向分量且只随半径变化，${\nabla }^2\mathbf{J}=j\omega \mu \sigma \mathbf{J}$ 在柱坐标下为 [3]

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}J}{\mathrm{d}{r}^2}+\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}J}{\mathrm{d}r}+k^{2}J=0,k^2=-j\omega \mu \sigma ,k=\frac{1-j}{\delta }\text{\hspace{1em}(5)}$$

这是零阶贝塞尔方程（Bessel equation）[7]。

② 在轴心有限的解。 两个独立解中，第二类解在 $r=0$ 处发散；实心导线包含轴心，轴心电流密度必须有限，故只保留第一类贝塞尔函数 $J_0$ [3]：

$$J(r)=C{J}_0(kr)\text{\hspace{1em}(6)}$$

空心管导体不含轴心，两个解都要保留。$J_0$ 的级数为 $J_0(z)={\sum }_{m\ge 0}(-1{)}^m(z/2{)}^{2m}/(m!{)}^2$ [7]。

③ 用总电流定常数。 频域问题是线性的，$J(r)$ 的形状由方程与边界确定，幅值由激励确定。以总电流 $I$ 定标，得到每安培的响应，比值与激励大小无关。在 Maxwell 中用电流激励时，$I$ 是给定输入、$J(r)$ 是待求量；用电压激励时，$I$ 是待求量，二者由下面的阻抗联系。由 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}[z{J}_1(z)]=z{J}_0(z)$ [7]：

$$I={\int }_0^{a}J(r)2\pi r\mathrm{d}r=\frac{2\pi aC}{k}{J}_1(ka)\Rightarrow J(r)=\frac{Ik}{2\pi a}\frac{J_0(kr)}{J_1(ka)}\text{\hspace{1em}(7)}$$

④ 单位长度内阻抗。 定义为表面电场与总电流之比 [3]：

$$Z_{int}=\frac{E_z(a)}{I}=\frac{J(a)}{\sigma I}=\frac{k}{2\pi a\sigma }\frac{J_0(ka)}{J_1(ka)}\text{\hspace{1em}(8)}$$

由坡印廷定理，单位长度流入导线的复功率为 $\frac{1}{2}{E}_z(a)H_{\phi }^{\ast }(a)\cdot 2\pi a=\frac{1}{2}{E}_z(a)I^{\ast }$，与 $\frac{1}{2}{Z}_{int}|I{|}^2$ 相等，二者一致。除以 $R_{dc}=1/(\pi a^2\sigma )$：

$$\frac{Z_{int}}{R_{dc}}=\frac{ka}{2}\frac{J_0(ka)}{J_1(ka)},\frac{R_{ac}}{R_{dc}}=\mathrm{Re}\frac{Z_{int}}{R_{dc}},\frac{\omega L_{int}}{R_{dc}}=\mathrm{Im}\frac{Z_{int}}{R_{dc}}\text{\hspace{1em}(9)}$$

虚部对应导线内部磁通的内电感 $L_{int}$。与 [2] 给出的 $Z_{int}$ 表达式一致。

⑤ 两端极限。 低频（$a/\delta \ll 1$）时展开级数，得 $R_{ac}/R_{dc}\approx 1+(a/\delta {)}^4/48$、$L_{int}\approx \mu /(8\pi )$ [3]。原书 [3] 把修正项印作 $(r_0/\delta {)}^2/48$；级数展开给出四次方，数值核对也支持四次方（$a/\delta =0.5$ 时精确解 1.0013，四次方式 1.0013，平方式 1.0052）。高频（$a/\delta \gg 1$）时 $\mathrm{Im}(ka)<0$，$J_{\nu }=\frac{1}{2}(H_{\nu }^{(1)}+H_{\nu }^{(2)})$ 中 $H_{\nu }^{(1)}$ 占主导 [7]；取其渐近展开前两项 [7]：

$$\frac{J_0(z)}{J_1(z)}\approx j\frac{1-j/(8z)}{1+3j/(8z)}\approx j+\frac{1}{2z}\Rightarrow \frac{R_{ac}}{R_{dc}}\approx \frac{a}{2\delta }+\frac{1}{4},\frac{\omega L_{int}}{R_{dc}}\approx \frac{a}{2\delta }\text{\hspace{1em}(10)}$$

首项 $a/(2\delta )$ 与 §2 的表面电阻近似及 [3] 一致；$1/4$ 为曲率修正，由上式推出。

孤立圆直导线 R_ac/R_dc 随 a/δ 的变化：实线为 ④ 的精确解，虚线与点线为 ⑤ 的高频近似；黑点为直径 1 mm 铜线在 6.78 MHz [8]。

$a/\delta$	精确解 $R_{ac}/R_{dc}$	$a/(2\delta )+1/4$	近似式误差
0.5	1.0013	0.50	−50 %
1	1.0205	0.75	−27 %
2	1.2646	1.25	−1.2 %
5	2.7681	2.75	−0.65 %
10	5.2593	5.25	−0.18 %
20	10.2547	10.25	−0.05 %
50	25.2519	25.25	−0.01 %
100	50.2509	50.25	< 0.01 %

"$a\gg \delta$"的量化：只用首项 $a/(2\delta )$（即表面电阻近似）时，相对误差约为 $-\delta /(2a)$，$a/\delta =10$、$20$、$100$ 时分别为 −4.9 %、−2.5 %、−0.5 %；加上 $1/4$ 后，$a/\delta \ge 2$ 即优于 1.2 %。

5. 数值示例

铜 $\sigma =5.8\times 10^7$ S/m（AEDT 2026 R1 材料库）。24 AWG 线径 0.511 mm [9]。

导线	频率	$\delta$	$a/\delta$	$R_{dc}$	$R_{ac}/R_{dc}$
24 AWG	50 Hz	9.35 mm	0.027	84.07 mΩ/m	$1+1.2\times 10^{-8}$
24 AWG	60 Hz	8.53 mm	0.030	84.07 mΩ/m	$1+1.7\times 10^{-8}$
24 AWG	6.78 MHz	25.4 µm	10.07	84.07 mΩ/m	5.29
直径 1 mm	6.78 MHz	25.4 µm	19.70	21.95 mΩ/m	10.10

工频下趋肤效应对这类细导线可以忽略；同一根线在 6.78 MHz 下交流电阻为直流的 5.3 倍。

6. 适用边界

• 孤立直导线：相邻导体的邻近效应另外增大损耗，§4 不含 [2]；该项见 proximity-effect。
• 表面电阻近似要求厚度、转角与弯曲半径不小于 $\delta$ 量级 [5]。
• 良导体、线性材料，条件同 skin-effect-skin-depth。

参考

1. Ansys, Maxwell Help, Release 2026 R1, 2026, pp. 1772–1773, “Impedance Boundary”、p. 4249, “Matrix Resistance”.
2. “Skin effect,” Wikipedia.
3. S. Ramo, J. R. Whinnery, T. Van Duzer, Fields and Waves in Communication Electronics, 3rd ed. New York, NY, USA: Wiley, 1994, 序言、§3.17 式 (1)–(5)、§4.4 式 (3)–(5)、§4.4 式 (6)–(7)、§4.5 式 (6)、§4.5 式 (7)–(8)、§4.5 式 (9)、§4.5 式 (11).
4. “Proximity effect (electromagnetism),” Wikipedia.
5. D. M. Pozar, Microwave Engineering, 4th ed. Hoboken, NJ, USA: Wiley, 2012, 式 (1.129)–(1.131)、式 (2.19).
6. “Sheet resistance,” Wikipedia.
7. F. W. J. Olver et al., Eds., NIST Digital Library of Mathematical Functions, ch. 10, “Bessel Functions”, 式 (10.2.1)、式 (10.4.4)、式 (10.6.6)、式 (10.17.1)、式 (10.17.5).
8. ac-resistance.py，本卡出图脚本。
9. “American wire gauge,” Wikipedia.

关联

• 相关概念：skin-effect-skin-depth · proximity-effect · bessel-function · litz-wire · mutual-resistance-cross-loss
• 仿真操作：mesh-and-solving