mutual inductance sign under lateral misalignment（横向错位下互感的变号）

概念

1. 互感与净磁通

线圈 $j$ 通电流 $I_j$ 时，穿过线圈 $i$ 所围曲面 $S_i$ 的磁通与互感为 [1, “Derivation”]

$${\Phi }_{ij}={\int }_{S_i}{\mathbf{B}}_j\cdot \mathrm{d}\mathbf{a},M_{ij}=\frac{{\Phi }_{ij}}{I_j}$$

符号	含义	单位
${\mathbf{B}}_j$	线圈 $j$ 的电流产生的磁通密度	T
$\mathrm{d}\mathbf{a}$	$S_i$ 的面元，法向由线圈 $i$ 的电流参考方向按右手定则确定	m²
${\Phi }_{ij}$	穿过 $S_i$ 的净磁通	Wb
$M_{ij}$	单匝线圈之间的互感	H

多匝时磁链为 ${\lambda }_m=N_m{\Phi }_m$，互感与两线圈匝数之积 $N_m{N}_n$ 成正比 [1, “Derivation of mutual inductance”]。细导线回路之间的互感也可由纽曼公式（Neumann formula）计算 [1, “Mutual inductance of two wire loops”]：

$$M_{mn}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\oint }_{C_m}{\oint }_{C_n}\frac{\mathrm{d}{\mathbf{x}}_m\cdot \mathrm{d}{\mathbf{x}}_n}{|{\mathbf{x}}_m-{\mathbf{x}}_n|}$$

其中 ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}$ H/m，$C_m$、$C_n$ 为两回路路径。电感矩阵对称，$M_{mn}=M_{nm}$ [1, “Mutual inductance and magnetic field energy”]。

耦合系数（coupling coefficient）$k$ 由下式定义 [1, “Coupling coefficient”]：

$$M=k\sqrt{L_1{L}_2}$$

$L_1$、$L_2$ 为两线圈自感，恒为正，故 $k$ 与 $M$ 同号，也与净磁通 ${\Phi }_{21}$ 同号。多数文献把 $k$ 的范围取为 $0\le k<1$，也有文献取 $-1<k<1$，负值表示线圈接法或绕向造成的相位反转 [1, “Coupling coefficient”]。$M$ 的符号取决于两线圈电流参考方向与同名端（dot convention）的约定：两电流都取为流入同名端时 $M$ 为正 [1, “Mutual inductance and magnetic field energy”]。约定固定后，$k$ 随几何位置变号才有物理意义。

2. 单匝圆环磁场的两个区域

单匝圆环的磁感线绕导线截面闭合：环内磁感线朝一个方向穿过，绕到环外后朝相反方向返回。在环所在平面上方高度 $h$ 的平面内，磁通密度的法向分量 $B_z$ 在中心附近为一个符号，在半径 ${\rho }_0$ 之外反号；回流区面积大，场弱。

空气中半径 $a=125$ mm 的单匝圆环，$h=200$ mm 平面上：

量	值
$B_z$ 反号半径 ${\rho }_0$	313 mm
中心 $|B_z|$ 与回流区最大 $|B_z|$ 之比	37.9

两项均按比奥–萨伐尔定律（Biot–Savart law）数值积分得到，脚本见图 1 图注。

3. 横向错位下净磁通的三种情况

接收线圈（同为 $a=125$ mm，与发射线圈平行、相距 $h$）沿 $x$ 平移 $d$，${\Phi }_{21}$ 是其所围圆面上 $B_z$ 的面积分：

1. 同轴（$d=0$）：圆面全部落在中心区，${\Phi }_{21}$ 最大，$k>0$。
2. 部分错开：圆面一部分在中心区、一部分在回流区，两部分磁通大小相等、方向相反，${\Phi }_{21}=0$，$k=0$，两线圈之间无互感。空气模型中此时 $d=342$ mm。
3. 大幅错开：圆面大部分落在回流区，${\Phi }_{21}$ 反号，$k<0$。回流场弱，$|k|$ 小：$d=425$ mm 时 ${\Phi }_{21}/{\Phi }_{21}(0)=-0.029$，600 mm 内最低为 $-0.031$（$d=465$ mm）。

图 1　y = 0 的 XZ 截面，沿 Y 方向看，错位沿 X。空气中两个 a = 125 mm 单匝圆环，间距 200 mm。× 为电流流入纸面，⊙ 为流出，此方向使中心磁场向下。灰线为磁感线（磁通函数 rA_φ 的等值线）；彩色箭头为 y = 0 截线上穿过接收线圈的 B_z，蓝色与同轴时同向，红色反向。截线只是圆面的一条直径，净磁通为整个圆面的积分，中间一幅两侧箭头不等量，面积分为零。脚本：mutual-inductance-sign.py。

4. 铁氧体磁芯与屏蔽板的影响

图 2 实线为 AEDT 2026 R1 自带示例 WirelessCharging 的参数扫描 design（绕组区半径 70–180 mm、铁氧体相对磁导率 2400、铝屏蔽板、气隙 200 mm）在 150 kHz 下的有限元结果，按 $k(0)=0.0799$ 归一化。有限元软件按每匝 1 A 峰值电流求解，由平均磁场能量 $W_{AV}$ 取 $L=4W_{AV}$ [2]。

量	空气单匝模型	有限元（含磁芯与屏蔽板）
过零错位	342 mm	约 236 mm（200 mm 与 250 mm 两点间线性插值）
负值最低	−0.031（465 mm）	−0.095（300 mm）

磁芯为磁通提供低磁阻回路，回流集中在磁芯外缘附近，过零点前移，负值加深。

图 2　虚线：图 1 的空气单匝模型。实线：Maxwell 3D AC Magnetic 有限元结果，数据来自算例 02-wpt-gap-slide-sweep run-1（09-17-2026，结果状态 SUSPECT：无独立校验），simulations/2026-09-wpt-coil-coupling/03-results/02-wpt-gap-slide-sweep/02-wpt-gap-slide-sweep-matrix.csv。脚本：mutual-inductance-sign.py。

5. 工程含义

• 对位容差：无线充电的传输能力随 $k$ 变化；错位到过零点附近时两线圈间几乎没有互感，越过过零点后耦合反向。
• 去耦：两线圈处在 $M=0$ 的相对位置时互不影响。MRI 相控阵接收线圈即通过让相邻表面线圈部分重叠、使互感为零来消除相邻单元间的相互作用 [3]。
• 仿真判读：错位扫描中出现 $k<0$ 不是数值错误；过零点应落在接收线圈跨过发射绕组外缘的位置附近。

6. 适用边界

• §2、§3 的数值只对空气中的细导线单匝圆环成立；绕组有径向宽度、多匝，或有磁芯、屏蔽板时，过零位置与负值深度须数值求解。
• 准静态：线圈尺寸远小于波长，磁场按静磁场分布计算。
• 线性介质：$M$ 与电流大小无关；磁芯饱和时不成立。

参考

1. “Inductance,” Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Inductance（访问 09-17-2026）
2. Ansys, Maxwell Help, Release 2026 R1, 2026, pp. 4248–4249, “Matrix Inductance”（Maxwell 2D Technical Notes 29-24–29-25）.
3. P. B. Roemer, W. A. Edelstein, C. E. Hayes, S. P. Souza, O. M. Mueller, “The NMR phased array,” Magnetic Resonance in Medicine, 16(2), 192–225, 1990, doi: 10.1002/mrm.1910160203

关联

• 相关概念：ac-resistance · skin-effect-skin-depth
• 仿真操作：wpt-modeling