proximity effect（邻近效应）

概念

1. 一根导线在外场中

现象。 导线处在交变磁场中，磁场在导线内感应涡流（eddy current）；涡流叠加到导线本身的电流上，使电流偏向截面的一侧，并额外产生损耗。这一现象称为邻近效应（proximity effect）[1]。

外场由谁产生不影响这件事。把一根不通净电流的孤立圆导线放进均匀交变场，导线里照样有涡流：一半截面电流向前、另一半向后，净电流为零。这是邻近效应的本体，名字里的”邻近”只是因为实际中这个外场通常来自邻近的导体。

与趋肤效应是同一个机制、不同的模式。 两者都是法拉第感应产生的涡流，服从同一个方程 ${\nabla }^2\mathbf{J}=j\omega \mu \sigma \mathbf{J}$；区别在于导线所处的磁场对称性不同，因而激起不同的解：

	磁场	解的角向形式	该部分的净电流
趋肤效应，见 skin-effect-skin-depth	导线自身电流的场，环绕轴线、轴对称	与方位角无关，$\propto J_0(kr)$	$I$
邻近效应	外来的场，在导线尺度上近似均匀、有确定方向	$\propto J_1(kr)\cos \phi$，一侧正一侧负	0

所以”区别只在于外场来自邻线”只说对了一半：来源不是本质，场在导线处的对称性才是。磁体、磁芯漏磁、屏蔽板涡流产生的场同样按邻近效应处理。两个解的正交性见 §2。

电流分布。

图 1。不通净电流的圆导线在均匀横向交变场 $B_e$ 中的瞬时电流密度（红正蓝负，各自以峰值归一）[2]。

• 电流沿垂直于 $B_e$ 的方向分成正负两半，中性线与 $B_e$ 平行。
• 低频（$a/\delta =0.5$）：场完全穿透，电流密度沿垂直于 $B_e$ 的坐标近似线性变化，边缘最大。
• 高频（$a/\delta =5$）：涡流把场挡在表层，电流压在厚约 $\delta$ 的表皮内。
• 高频图中内部那圈反号，是相位滞后造成的：电流相位每深入一个 $\delta$ 滞后约 1 rad（与趋肤效应相同，见 skin-effect-skin-depth §3），深入约 $3.2\delta$ 时滞后累积到 $\pi$，该处电流在同一瞬间与表面反向。此处幅值已降到表面的约 7 %，对损耗几乎没有贡献。

损耗。 单位长度时均损耗为 [3]

$$P=\hat{G}\left(\frac{a}{\delta }\right)\frac{H_e^2}{\sigma }\text{\hspace{1em}(1)}$$

符号	含义	单位
$H_e$	外场峰值（导线所在处、拿掉该导线时的场）	A/m
$a$	导线半径	m
$\delta =1/\sqrt{\pi f\mu \sigma }$	趋肤深度，见 skin-effect-skin-depth	m
$\sigma$、$\mu$	电导率、磁导率	S/m、H/m
$\hat{G}$	邻近效应因子，无量纲	—
$P$	单位长度时均损耗	W/m

$\hat{G}$ 是这张卡里唯一需要查的量，物理含义是导线被单位外场激起损耗的难易程度：把损耗除以外场平方、再乘电导率，剩下的纯数只取决于 $a/\delta$，与材料、尺寸、频率的具体取值无关（推导见附录 A）。它在邻近效应里的地位相当于 $R_{ac}/R_{dc}$ 在趋肤效应里的地位。描述某个具体结构中邻近效应的强弱则用 §2 的等效电阻 $R_{prox}$ 或比值 $R_{prox}/R_{skin}$。

$\hat{G}$ 不是实测表，而是附录 A 那个解析解的结果：表 1 由解的损耗积分数值算出，并与 [3] 的 Kelvin 函数闭式逐点核对（相对差 $\le 2\times 10^{-6}$）。它只有 $a/\delta$ 一个自变量。至于这个”孤立圆柱 + 均匀外场”模型与真实密绕绕组差多少，是另一回事，见 §6。

$$\hat{G}\approx \frac{\pi }{2}{\left(\frac{a}{\delta }\right)}^4(a/\delta \le 0.5)\text{\hspace{1em}(2)}$$ $$\hat{G}\approx 2\pi \left(\frac{a}{\delta }-\frac{1}{2}\right)(a/\delta \ge 3)\text{\hspace{1em}(3)}$$

两式的误差分别不超过 0.72 % 与 0.51 %；中间区间查图 2 或表 1。

图 2。$\hat{G}$ 随 $a/\delta$ 的变化（双对数）：实线为精确解，虚线与点线为式 (2)(3)；黑点为直径 1 mm 铜线在 150 kHz 与 6.78 MHz [2]。

表 1．$\hat{G}$ 的精确值

$a/\delta$	0.5	1	2	3	5	10	20
$\hat{G}$	0.0975	1.41	9.28	15.7	28.2	59.7	122.5

频率分界。 令 $a/\delta =1$，即趋肤深度恰好等于导线半径（场的衰减特征长度与导线尺寸相当），解出

$$f_1=\frac{1}{\pi \mu \sigma a^2},\frac{a}{\delta }=\sqrt{\frac{f}{f_1}}\text{\hspace{1em}(4)}$$

$f\ll f_1$ 时外场基本完全穿透导线、整个截面都有涡流，损耗按 $f^2$ 增长；$f\gg f_1$ 时涡流把外场挡在厚 $\delta$ 的表层，只有表层参与，损耗改按 $\sqrt{f}$ 增长。$f_1$ 同时也是这根导线趋肤效应开始显著的频率。$f_1\propto 1/a^2$：直径减半，分界频率升高 4 倍。

表 2．铜线（$\sigma =5.8\times 10^7$ S/m，AEDT 2026 R1 材料库）的分界频率

导线直径 $d$	$f$（$a/\delta =0.5$，式 (2) 适用上限）	$f_1$（$a/\delta =1$）	$f$（$a/\delta =3$，式 (3) 适用下限）
0.1 mm	437 kHz	1.75 MHz	15.7 MHz
0.2 mm	109 kHz	437 kHz	3.93 MHz
0.5 mm	17.5 kHz	69.9 kHz	629 kHz
1 mm	4.4 kHz	17.5 kHz	157 kHz
2 mm	1.1 kHz	4.4 kHz	39.3 kHz

为什么导线越粗，邻近效应越强。 低频下外场感应的电场 $E=-j\omega A$，$A$ 随到中性线的距离线性增长，导线越粗、边缘离中性线越远，边缘电场越大（$\propto \omega B_{e}a$），电流密度也越大；损耗密度按 $J^2/\sigma \propto \sigma {\omega }^2{B}_e^2{a}^2$，再乘截面积 $\pi a^2$，得 $P\propto a^4$（附录 A）。高频下只有厚 $\delta$ 的表层参与，导电截面是”周长 × $\delta$“，周长 $2\pi a\propto a$，所以 $P\propto a$。

这两条都是在同一频率、同一外场下比较不同直径：低频区直径加倍，损耗增至 16 倍；高频区直径加倍，只增至 2 倍。它们不是两个频段之间的损耗比较——同一根导线的损耗始终随频率单调上升（图 2），只是上升的速率从 $f^2$ 转为 $\sqrt{f}$。

2. 与趋肤效应叠加：等效电阻

对孤立圆导线，§1 两个模式的解在截面上正交：趋肤模式的角向因子是常数 1，邻近模式的是 $\cos \phi$，损耗积分的交叉项含 ${\int }_0^{2\pi }\cos \phi \mathrm{d}\phi =0$，正负两半相消。因此

$$P_{total}=P_{skin}+P_{prox}\text{\hspace{1em}(5)}$$

两项分别计算再相加的做法称 Ferreira 方法 [3]。

图 3。铜线 $d=1$ mm、邻线在 $-x$ 方向、中心距 $s=3$ mm、436.7 kHz（$a/\delta =5$）、两线电流同向。（a）（b）（c）是同一时刻（趋肤模式表面电流的峰值时刻）的瞬时电流密度，共用同一色标与同一组等值线，(c) 逐点等于 (a)+(b)：(a) 轴对称，(b) 一侧正一侧负、幅值峰只有 (a) 的 0.30 倍，叠加后远侧密、近侧疏。（d）为两个模式的角向因子及其乘积的正负相消 [2]。

折算成电阻。 交流电阻按损耗定义 $R=2P/I_{peak}^2$（见 ac-resistance §1）。邻近效应损耗本身与本导线的电流无关，只有当外场也由同一个电流 $I$ 产生（同一回路、同一绕组）时，才能折算成串在该电流上的电阻。此时令几何因子

$$\kappa =\frac{H_e}{I}[{\mathrm{m}}^{-1}],R_{prox}=\frac{2P}{I_{peak}^2}=\frac{2\hat{G}{\kappa }^2}{\sigma }[\Omega /\mathrm{m}],R_{ac}=R_{skin}+R_{prox}\text{\hspace{1em}(6)}$$

$\kappa$ 把全部几何信息（间距、匝数、本匝在绕组中的位置）收进一个数，$\hat{G}$ 把全部频率与材料信息收进另一个数。这样邻近效应就与趋肤效应放在同一个电路量上比较。

分布上的叠加。 只有趋肤效应时电流分布轴对称，沿整圈表面均匀增大；加上邻近效应后，外场的涡流在一侧与净电流同向、另一侧反向，于是某一侧的边缘电流密度更大、另一侧更小（图 3c 与 §3 图 4）。两点要注意：

• 低频下外场感应的涡流与净电流相位差 90°，幅值近似按平方相加，截面上几乎看不出偏向（$a/\delta =0.5$ 时两侧只差 1 %），但损耗照样按式 (2) 增加。看不出偏向不等于没有邻近效应损耗。
• 有限元里能直接看到这一偏向：对实体导线开启 eddy effect 后 [4]，画截面上的电流密度幅值即可，网格须细到能分辨 $\delta$（见 field-postprocessing、mesh-and-solving）。把绕组均匀化成实心导体的模型不含匝间邻近效应，看不到这件事。

3. 两根导线

把邻线视为细导线、其场在本导线尺度上均匀，则 $H_e=I/(2\pi s)$（$s$ 为中心距），代入式 (6)：

$$\kappa =\frac{1}{2\pi s},R_{prox}=\frac{\hat{G}}{2{\pi }^2\sigma s^2},P_{prox}=\frac{\hat{G}{I}_{peak}^2}{4{\pi }^2\sigma s^2}\text{\hspace{1em}(7)}$$

距离只通过 $1/s^2$ 进入。间距加倍，邻近效应损耗降到四分之一。

图 4。同一根铜线（$d=1$ mm，中心距 $s=3$ mm）在三种条件下的 $|J|/J_{dc}$，坐标为实际尺寸；每幅左下角的蓝色标尺是该频率下的 $\delta$。（a）（b）为 436.7 kHz（$a/\delta =5$），（c）为 4.4 kHz（$a/\delta =0.5$，注意色标范围只有 0.998–1.009）。“远/近”为两侧表面电流密度幅值之比 [2]。

• 电流同向：电流挤向背离另一根导线的一侧；电流反向：挤向面向另一根导线的一侧 [1]。高频下可由表面切向场读出：同向时本导线自身电流的表面场 $I/(2\pi a)$ 在远侧与外场同向叠加、近侧相减，反向时相反。
• 两种情形的损耗相同。 式 (7) 只含 $\hat{G}$ 与 $s$，不含电流方向；同向与反向在同样间距下邻近效应损耗一样，差别只在电流挤在哪一侧。

表 3．铜线 $d=1$ mm 的等效电阻（每根导线，单位长度；$R_{dc}=21.95$ mΩ/m）

频率	$a/\delta$	$\hat{G}$	$R_{skin}$	$R_{prox}$（$s/d=2$）	$s/d=3$	$s/d=5$
150 kHz	2.93	15.3	38.0 mΩ/m	3.34 mΩ/m	1.48 mΩ/m	0.53 mΩ/m
6.78 MHz	19.7	121	221.8 mΩ/m	26.3 mΩ/m	11.7 mΩ/m	4.21 mΩ/m

单独一对导线里邻近效应只是 1–12 % 的小修正。

4. 平面螺旋线圈

多匝绕组里外场是全部其他匝的合场，$\kappa$ 要逐匝算（Biot–Savart 叠加或有限元取该匝位置的场），量级与双线完全不同。

图 5。12 匝同心圆环、半径 40→84 mm、节距 4 mm。（a）（b）为 Biot–Savart 计算，（c）为示意 [5]。

1. 外场垂直穿过线圈平面。 圆环电流在自身所在平面内的磁场只有轴向分量（关于线圈平面的镜像对称使径向分量为零），每一匝所处的外场沿 $\pm z$。涡流因此沿半径方向分离，电流挤向导线的径向内、外两个面；扁平走线上就是挤到内外两条边。这与螺线管不同——螺线管的轴向场是沿绕组表面的。
2. 挤向哪一面随半径换号。 导线自身的表面场在径向内面指向 $+z$、外面指向 $-z$。内侧匝处外场为 $+z$，与内面的自身场同向，电流挤向径向内侧；最外匝处外场是回流磁通、为 $-z$，电流挤向径向外侧；中间某一匝（图 5 中第 10 匝）其余匝的场相互抵消，没有偏向。用”被同向的邻匝推开”也得到同样结论：内侧匝的邻居大多在它外面。
3. 损耗沿半径是 U 形，最内匝最大。 图 5 中 $\kappa$ 从最内匝的 178 m⁻¹ 单调降到第 10 匝的 8 m⁻¹，最外匝回到 82 m⁻¹（符号相反）；损耗按 ${\kappa }^2$ 走，最内匝比中间匝高两个数量级。

密绕时 $\kappa$ 可以超过导线自身表面场对应的 $1/(2\pi a)$。20 匝、半径 50→88 mm、节距 2 mm、铜线 $d=1$ mm、150 kHz：最内匝 $\kappa =376$ m⁻¹，而 $1/(2\pi a)=318$ m⁻¹；该匝 $R_{prox}=74.6$ mΩ/m，是自身趋肤电阻 38.0 mΩ/m 的 1.96 倍；第 10 匝只有 0.14 倍，最外匝 0.66 倍。平面线圈的损耗优化都在动最内几匝，原因在此 [3]。

5. 算一个具体结构，以及怎么把损耗压下去

计算流程。 给定导线直径、材料、电流幅值、频率与排布：

1. $\delta =1/\sqrt{\pi f\mu \sigma }$，得 $a/\delta$（或用式 (4) 由 $f/f_1$ 得到）。
2. 查 $\hat{G}$：式 (2)(3) 或表 1、图 2。
3. 定几何因子 $\kappa =H_e/I$：单根邻线用式 (7) 的 $1/(2\pi s)$；绕组逐匝用 Biot–Savart 叠加或有限元读该匝位置的场。
4. $R_{prox}=2\hat{G}{\kappa }^2/\sigma$（Ω/m），$P_{prox}=\frac{1}{2}{R}_{prox}{I}_{peak}^2$。
5. 与 $R_{skin}$ 相加得 $R_{ac}$，乘导线长度得总损耗。

例。 铜线 $d=1$ mm、双线 $s=2$ mm、$I=10$ A 峰值、150 kHz、长 1 m：$\delta =170.6$ µm，$a/\delta =2.93$，$\hat{G}=15.3$，$\kappa =79.6$ m⁻¹，$R_{prox}=3.34$ mΩ/m，$P_{prox}=0.167$ W/m；同条件 $R_{skin}=38.0$ mΩ/m，$P_{skin}=1.90$ W/m。

可调的量只有两个：$a/\delta$ 与 $\kappa$。

手段	作用的量	依据	代价
换细导线、litz 线	$a/\delta \downarrow$	式 (2)：低频区 $\hat{G}\propto (a/\delta {)}^4$，直径减半则 $\hat{G}$ 降到 1/16	需绞合，否则股间环流；填充率下降使 $R_{dc}$ 上升；见 litz-wire
拉开导线间距	$\kappa \downarrow$	式 (7)：$R_{prox}\propto 1/s^2$	体积增大，电感与耦合改变
去掉或让开高场区的匝（平面线圈的最内匝）	$\kappa \downarrow$	§4：最内匝 $\kappa$ 比中间匝大一个量级	匝数减少，电感与耦合下降
用扁导体并让外场平行于其宽面	垂直于外场方向的尺寸$\downarrow$	附录 A：低频损耗 $\propto \int x^2\mathrm{d}A$，$x$ 为到中性线的距离	只在外场方向确定时有效
降低工作频率	$a/\delta \downarrow$	式 (4)	通常由系统决定，不可调
换低电导率材料	—	低频 $P\propto \sigma$、高频 $P\propto 1/\sqrt{\sigma }$	直流损耗上升，一般得不偿失

低频区（$a/\delta \le 0.5$）四次方的依赖使细线收益极大，这是 litz 线的全部理由；高频区（$a/\delta \ge 3$）$\hat{G}$ 只按一次方增长，细线的收益退化，改从 $\kappa$ 下手更有效。

6. 适用边界

• 外场均匀、导线孤立。 §1 的解要求外场在导线截面尺度上均匀，§3、§4 还忽略了导线之间的相互再感应。密绕时两条都不成立：与二维有限元结果相比，Ferreira 方法在高频、紧密排列时高估邻近效应损耗，一维的 Dowell 方法则低估，两者在部分参数区间的误差都达到或超过 60 %；导线间距与直径之比、层间距与直径之比都在 1 以上时 Ferreira 方法较准 [3]。
• §4 的图是单层细丝模型。 真实螺旋线圈有节距和导线厚度，会带进径向场分量；磁芯与金属屏蔽板会重排绕组处的场，图中没有它们。
• 良导体、线性材料。 条件同 skin-effect-skin-depth §5。

参考

1. “Proximity effect (electromagnetism),” Wikipedia.
2. proximity-effect.py，本卡出图脚本。
3. X. Nan, C. R. Sullivan, “An improved calculation of proximity-effect loss in high-frequency windings of round conductors,” in IEEE Power Electronics Specialists Conference (PESC), 2003, pp. 853–860, 式 (1)、式 (7).
4. Ansys, Maxwell Help, Release 2026 R1, 2026, p. 4141, “Skin Depth for an AC Magnetic (Eddy Current) T-Omega Solution”、p. 4155, “Skin Effect”.
5. planar-spiral.py，本卡出图脚本。

关联

• 相关概念：skin-effect-skin-depth · ac-resistance · bessel-function · litz-wire
• 仿真操作：mesh-and-solving · field-postprocessing

附录 A：均匀外场中圆导线的解

设导线沿 $z$ 轴、半径 $a$、非磁性良导体，外场沿 $y$ 方向、峰值 $B_e={\mu }_0{H}_e$。用矢量位 $A_z$：导线外为均匀场与二维偶极子之和 $A_z=-B_{e}r\cos \phi +D\cos \phi /r$；导线内满足 ${\nabla }^2{A}_z=j\omega \mu \sigma A_z$，在轴心有限的解为 $A_z=C{J}_1(kr)\cos \phi$，$k=(1-j)/\delta$。由 $r=a$ 处 $A_z$ 与 $H_{\phi }$ 连续、用 $J_1^{\prime }(z)=J_0(z)-J_1(z)/z$ 消去 $D$：

$$C=-\frac{2B_e}{k{J}_0(ka)},J_z=-j\omega \sigma A_z=j\omega \sigma \frac{2B_e}{k{J}_0(ka)}{J}_1(kr)\cos \phi \text{\hspace{1em}(A1)}$$

净电流 ${\int }_A{J}_z\mathrm{d}A\propto {\int }_0^{2\pi }\cos \phi \mathrm{d}\phi =0$。净电流的趋肤解与方位角无关（见 ac-resistance §4），与上式的 $\cos \phi$ 正交，故损耗可加（§2）。

损耗与 $\hat{G}$。 由 $P=\frac{1}{2\sigma }{\int }_A|J_z{|}^2\mathrm{d}A$ 与 $|k{|}^2=2/{\delta }^2$：

$$\hat{G}=\frac{P\sigma }{H_e^2}=\frac{4\pi }{{\delta }^2}\frac{{\int }_0^a|J_1(kr){|}^{2}r\mathrm{d}r}{|J_0(ka){|}^2}\text{\hspace{1em}(A2)}$$

低频极限（式 2）。 $|ka|\ll 1$ 时 $J_1(kr)\approx kr/2$、$J_0(ka)\approx 1$，解退化为 $A_z=-B_{e}x$，即外场完全穿透，$J_z=-j\omega \sigma B_{e}x$，$x$ 为到中性线的距离。代入并用 ${\int }_A{x}^2\mathrm{d}A=\pi a^4/4$：

$$P=\frac{\pi }{8}\sigma {\omega }^2{B}_e^2{a}^4\Rightarrow \hat{G}=\frac{\pi }{2}{\left(\frac{a}{\delta }\right)}^4\text{\hspace{1em}(A3)}$$

${\int }_A{x}^2\mathrm{d}A$ 这一项同时给出了 §1 的 $a^4$ 依赖与 §5 中扁导体取向的依据。

高频极限（式 3）。 场被排出导线，外表面切向场由理想导体边界（$A_z{|}_{r=a}$ 为常数，即 $D=B_e{a}^2$）给出 $H_t=2H_e\cos \phi$，峰值为外场的 2 倍。按表面电阻 $R_s=1/(\sigma \delta )$ 与 $P=\frac{R_s}{2}\oint |H_t{|}^2\mathrm{d}l$（见 ac-resistance §2）：

$$P=2\pi a{R}_s{H}_e^2\Rightarrow \hat{G}=2\pi \frac{a}{\delta }\text{\hspace{1em}(A4)}$$

数值解在 $a/\delta \ge 3$ 时与 $2\pi (a/\delta -1/2)$ 相差不超过 0.51 %，$-1/2$ 为曲率修正。

核对。 [3] 给出等价的 Kelvin 函数闭式 $\hat{G}=-2\pi \gamma [{\mathrm{ber}}_2\gamma {\mathrm{ber}}^{\prime }\gamma +{\mathrm{bei}}_2\gamma {\mathrm{bei}}^{\prime }\gamma ]/[{\mathrm{ber}}^2\gamma +{\mathrm{bei}}^2\gamma ]$，$\gamma =d/(\sqrt{2}\delta )$；与上面的积分在 $a/\delta \le 20$ 内逐点相对差不超过 $2\times 10^{-6}$（脚本中同时计算两者）。