wave attenuation in lossy tissue (每波长衰减)

wave attenuation in lossy tissue(有耗组织中的波衰减)

本卡讲一件事:给定介质的介电常数 $\epsilon$ 与电导率 $\sigma$,不同频率的平面波在其中如何衰减——衰减常数、相位常数、波长、每波长衰减量各由什么决定,以及这些量分别回答什么物理问题。它是组织中一切 RF 场问题(导线耦合、SAR 分布、传输线模型适用性)的公共前提,导线本身的建模不在本卡。

记号:时间约定 $e^{j\omega t}$;介质复波数记 $k_m=\beta -j\alpha$,平面波沿 $+z$ 传播为 $e^{-j{k}_{m}z}=e^{-\alpha z}{e}^{-j\beta z}$。参考教材(Pozar)用传播常数 $\gamma =\alpha +j\beta =j{k}_m$,是同一组量。

概念

1. 从 Maxwell 方程到复波数

有耗介质中传导电流与位移电流并存,Ampère 定律写为(Pozar 4th ed. 式 (1.50b))

$$\nabla \times \mathbf{H}=j\omega \epsilon \mathbf{E}+\sigma \mathbf{E}=j\omega \epsilon \left(1-j\frac{\sigma }{\omega \epsilon }\right)\mathbf{E}$$

• $\epsilon ={\epsilon }_r{\epsilon }_0$:介电常数(F/m),${\epsilon }_0=8.854\times 10^{-12}$ F/m;
• $\sigma$:电导率(S/m);
• $\omega =2\pi f$:角频率(rad/s);
• $\tan \delta \equiv \sigma /(\omega \epsilon )$:损耗角正切(无量纲),即传导电流与位移电流的幅值之比。

代入另一条旋度方程消去 $\mathbf{H}$,得波动方程(式 (1.51))${\nabla }^2\mathbf{E}+{\omega }^2\mu \epsilon (1-j\tan \delta )\mathbf{E}=0$。与无损情形相比,只是 $k^2={\omega }^2\mu \epsilon$ 换成了复数 ${\omega }^2\mu \epsilon (1-j\tan \delta )$。于是复波数

$$k_m=\omega \sqrt{\mu \epsilon }\sqrt{1-j\tan \delta }\equiv \beta -j\alpha$$

($\mu ={\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}$ H/m,生物组织非磁性。)沿 $+z$ 的平面波解 $E_x=E_0{e}^{-\alpha z}{e}^{-j\beta z}$(式 (1.54)),时域为 $E_0{e}^{-\alpha z}\cos (\omega t-\beta z)$:

• $\beta$(rad/m):相位常数,决定相位推进,$\lambda =2\pi /\beta$、相速 $v_p=\omega /\beta$;
• $\alpha$(Np/m):衰减常数,幅值按 $e^{-\alpha z}$ 衰减,功率按 $e^{-2\alpha z}$ 衰减。

2. 解出 α 与 β

把 $k_m^2=(\beta -j\alpha {)}^2={\beta }^2-{\alpha }^2-2j\alpha \beta$ 与 ${\omega }^2\mu \epsilon (1-j\tan \delta )$ 的实部、虚部分别对应:

$${\beta }^2-{\alpha }^2={\omega }^2\mu \epsilon ,2\alpha \beta ={\omega }^2\mu \epsilon \tan \delta$$

两式联立(消去一个未知量后是 ${\beta }^2$ 的二次方程,取正根),记 $q\equiv \sqrt{1+{\tan }^2\delta }$:

$$\beta =\omega \sqrt{\frac{\mu \epsilon }{2}}\sqrt{q+1},\alpha =\omega \sqrt{\frac{\mu \epsilon }{2}}\sqrt{q-1}$$

自检:$\tan \delta =0$ 时 $q=1$,$\alpha =0$、$\beta =\omega \sqrt{\mu \epsilon }$,退回无损。

3. 导出量:只由 tanδ 决定的比值

$$\frac{\alpha }{\beta }=\sqrt{\frac{q-1}{q+1}},A_{\lambda }\equiv \alpha \lambda =2\pi \frac{\alpha }{\beta }\text{(Np)}=8.686\times 2\pi \frac{\alpha }{\beta }\text{(dB)}$$

• $A_{\lambda }$:每波长衰减——波前进一个波长,幅值下降多少。它只依赖 $\tan \delta$,与 $\epsilon$、$\sigma$、$f$ 各自的绝对值无关;
• $1/\alpha$(m):幅值 1/e 衰减长度(良导体极限下即趋肤深度 ${\delta }_s$);
• 功率密度 $\frac{1}{2}\sigma |E{|}^2$ 按 $e^{-2\alpha z}$ 衰减,1/e 长度为 $1/(2\alpha )$。

两个极限:

极限	条件	$\beta$	$\alpha$	$A_{\lambda }$
低损介质	$\tan \delta \ll 1$	$\approx \omega \sqrt{\mu \epsilon }$	$\approx \frac{\sigma }{2}\sqrt{\mu /\epsilon }$(与 $f$ 无关)	$\approx \pi \tan \delta$,很小
良导体	$\tan \delta \gg 1$	$\approx \sqrt{\omega \mu \sigma /2}$	$\approx \beta$	$\to 2\pi$ Np $=54.6$ dB(上限)

良导体极限下 $1/\alpha =\sqrt{2/(\omega \mu \sigma )}$ 即经典趋肤深度;每波长衰减饱和在 54.6 dB——波在导体里走一个波长就衰掉 $e^{-2\pi }$。

4. 给定 ε、σ 后,衰减随频率怎么变

$\tan \delta =\sigma /(2\pi f\epsilon )$ 随频率下降,分界频率 $f_c=\sigma /(2\pi \epsilon )$($\tan \delta =1$ 处):

• $f\ll f_c$:介质像导体,$\alpha \approx \beta \propto \sqrt{f}$,$A_{\lambda }\to 54.6$ dB;
• $f\gg f_c$:介质像低损电介质,$\beta \propto f$、$\alpha \to$ 常数 $\frac{\sigma }{2}\sqrt{\mu /\epsilon }$,$A_{\lambda }\propto 1/f$ 下降。

高含水组织在 MRI 频段落在分界附近偏导体一侧。按肌肉 ${\epsilon }_r\approx 72$、$\sigma \approx 0.69$ S/m 估 $f_c\approx 170$ MHz,64 MHz 与 128 MHz 都在其下。下表为常数 $({\epsilon }_r,\sigma )$ 下的计算值(组织参数取自 Gabriel 参数模型数量级,[待确认]:真实组织有色散,${\epsilon }_r$ 随频率降、$\sigma$ 随频率升,精确值须查 IT’IS 数据库):

介质	$f$ (MHz)	$\tan \delta$	$\alpha$ (Np/m)	$\beta$ (rad/m)	$\lambda$ (m)	$1/\alpha$ (cm)	$A_{\lambda }$ (dB)
肌肉(${\epsilon }_r$=72, $\sigma$=0.69)	64	2.70	11.0	15.8	0.40	9.1	38.0
肌肉	128	1.35	13.2	26.3	0.24	7.6	27.5
血液(${\epsilon }_r$=86, $\sigma$=1.21)	64	3.96	15.4	19.8	0.32	6.5	42.5
血液	128	1.98	19.4	31.5	0.20	5.2	33.6
脂肪(${\epsilon }_r$=6.5, $\sigma$=0.035)	64	1.52	2.2	4.1	1.55	45.9	29.4
脂肪	128	0.76	2.4	7.3	0.87	41.1	18.3

注意无损公式 $\lambda =c/(f\sqrt{{\epsilon }_r})$ 会高估波长:肌肉 64 MHz 无损算得 0.55 m,计入 $\sigma$ 后 $\beta$ 增大、$\lambda$ 缩到 0.40 m。

常数 $({\epsilon }_r,\sigma )$ 下三种组织的 $\alpha$、$\beta$、每波长衰减(dB)与 $1/\alpha$ 随频率的变化,点线为 64 / 128 MHz。每波长衰减在低频趋向导体上限 54.6 dB、高频按 $1/f$ 下降;由本卡 §2–3 公式绘出,脚本 assets/wave-attenuation-in-lossy-tissue/plot_attenuation.py。

5. 这些量各回答什么问题

• 有没有远场($A_{\lambda }$ 对 $1$ Np):远场区要求 $r\gg \lambda$。波每走一个波长幅值就乘 $e^{-A_{\lambda }}$;$A_{\lambda }$ 达到几个 Np 时,场在到达 $r\sim \lambda$ 之前已衰减一两个量级,“辐射到远处”这件事不发生,源的能量在近区被介质吸收。肌肉 64 MHz 的 $A_{\lambda }\approx 38$ dB(4.4 Np)即属此类;空气 $A_{\lambda }=0$ 是另一极端。判据等价写法:$1/\alpha$ 与 $\lambda$ 之比,$A_{\lambda }=\lambda /(1/\alpha )$。
• 场的作用范围($1/\alpha$ 对结构尺寸):介质中任一处的源对距离 $r$ 处的影响带因子 $e^{-\alpha r}$,超出几个 $1/\alpha$ 后可忽略。把 $1/\alpha$ 与所研究结构的尺寸比较,即可判断结构上相距较远的部分是否还通过介质相互作用——这是各类”分布参数 / 局域”模型能否成立的物理前提。肌肉中 $1/\alpha \approx 9$ cm。
• 能量沉积到哪里:功率密度按 $e^{-2\alpha r}$ 衰减,1/e 长度 $1/(2\alpha )$,肌肉 64 MHz 约 4.5 cm——这决定了 SAR 集中在源附近的程度。

6. 适用边界

• 公式针对无界均匀介质中的平面波。点源或线源附近场还带几何因子($1/r$ 等),但指数因子 $e^{-\alpha r}$ 同样出现在有耗介质的 Green 函数 $e^{-j{k}_{m}r}/r$ 中,上述判据照用。
• 组织有色散:$\epsilon$、$\sigma$ 随频率变化,上表按常数参数计算,只给数量级;不同组织($\epsilon$、$\sigma$ 差一个量级)结果差别大,脂肪中 $1/\alpha$ 可达半米。
• 非磁性假设 $\mu ={\mu }_0$;层状或非均匀组织须另做边界问题。

参考

• David M. Pozar, Microwave Engineering, 4th ed., Wiley, 2012, §1.4 “Plane Waves in a General Lossy Medium”,式 (1.50)–(1.55):有耗介质中 Maxwell 旋度方程、复传播常数 $\gamma =\alpha +j\beta =j\omega \sqrt{\mu \epsilon }\sqrt{1-j\sigma /(\omega \epsilon )}$、平面波解与损耗角正切定义。本卡 §1 逐式核对自该节;§2–3 的闭式为本卡由式 (1.52) 平方后自行解出。
• S. Gabriel, R. W. Lau, C. Gabriel, “The dielectric properties of biological tissues: III. Parametric models for the dielectric spectrum of tissues,” Phys. Med. Biol. 41 (1996) 2271–2293 —— 组织 ${\epsilon }_r$、$\sigma$ 的参数模型来源;数值查询入口:IT’IS Foundation Tissue Properties Database(https://itis.swiss/virtual-population/tissue-properties/)。本卡表中数值为按该模型的数量级取值,**未逐项核对**,标 [待确认]。

关联

• 相关概念:transmission-line-equations、field-excited-transmission-line、lead-resonant-length(组织波长与谐振长度)、larmor-frequency(频率来源)
• hazard:rf-heating