wave attenuation in lossy tissue (每波长衰减)

wave attenuation in lossy tissue(有耗组织中的波衰减)

本卡讲一件事:给定介质的介电常数 $\epsilon$ 与电导率 $\sigma$,不同频率的平面波在其中如何衰减——衰减常数、相位常数、波长、每波长衰减量各由什么决定。它是组织中一切 RF 场问题(入射场的分布、导线周围散射场的范围、SAR 沉积)的公共前提;导线本身的建模不在本卡。

记号:时间约定 $e^{j\omega t}$;介质复波数记 $k_m=\beta -j\alpha$。参考教材(Pozar)用传播常数 $\gamma =\alpha +j\beta =j{k}_m$,是同一组量(见 §2 末的说明)。

概念

1. 两条旋度方程,两种电流

时谐场($e^{j\omega t}$)下 Maxwell 的两条旋度方程为(Pozar 4th ed. 式 (1.50a)、(1.50b)):

$$\nabla \times \mathbf{E}=-j\omega \mu \mathbf{H}\text{(Faraday 定律)}$$ $$\nabla \times \mathbf{H}=\underset{\text{传导电流}}{\underbrace{\sigma \mathbf{E}}}+\underset{\text{位移电流}}{\underbrace{j\omega \epsilon \mathbf{E}}}\text{(Ampeˋre–Maxwell 定律)}$$

• $\mathbf{E}$(V/m)、$\mathbf{H}$(A/m):电场与磁场复振幅;$\mu ={\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}$ H/m(生物组织非磁性);$\epsilon ={\epsilon }_r{\epsilon }_0$(F/m),${\epsilon }_0=8.854\times 10^{-12}$ F/m;$\sigma$(S/m);$\omega =2\pi f$(rad/s)。

定性含义。Faraday 定律:随时间变化的磁场在其周围绕出电场。Ampère–Maxwell 定律:电流在其周围绕出磁场,而”电流”包括两种。两条定律互为因果——变化的电场生磁场、变化的磁场生电场,波就是这样一步步向前推进的。

• 传导电流 $\sigma \mathbf{E}$:组织中的自由离子在电场推动下定向漂移,途中不断与周围分子碰撞、把动能交给热运动——它与 $\mathbf{E}$ 同相,对应能量的不可逆耗散(焦耳热),由 $\sigma$ 度量。
• 位移电流 $j\omega \epsilon \mathbf{E}$:束缚电荷(水分子偶极等)随电场来回极化,极化随时间的变化等效为一股电流——它与 $\mathbf{E}$ 相差 90°,不耗能,只在电场与磁场之间来回储存、交换能量,决定波前进的相速,由 $\epsilon$ 度量。

所以粗略地说:$\sigma$ 管衰减,$\epsilon$ 管相位。这在 $\tan \delta \ll 1$ 时是精确的;$\tan \delta \sim 1$(组织在 MRI 频段正是如此)时两者互相渗透——§3 的闭式里 $\alpha$ 与 $\beta$ 都同时依赖 $\sigma$ 和 $\epsilon$。两种电流的幅值之比

$$\tan \delta \equiv \frac{\sigma }{\omega \epsilon }$$

叫损耗角正切(无量纲),是全卡唯一真正重要的参数。

2. 沿 z 的波动方程与复波数

把 Ampère–Maxwell 定律写成 $\nabla \times \mathbf{H}=j\omega \epsilon (1-j\tan \delta )\mathbf{E}$,对 Faraday 定律取旋度并代入,得波动方程(Pozar 式 (1.51))

$${\nabla }^2\mathbf{E}+{\omega }^2\mu \epsilon (1-j\tan \delta )\mathbf{E}=0$$

与无损情形相比,只是 $k^2={\omega }^2\mu \epsilon$ 换成了复数。取沿 $+z$ 传播、只有 $x$ 分量、在 $x,y$ 方向均匀的平面波,方程退化为一维(Pozar 式 (1.53)):

$$\frac{{\mathrm{d}}^2{E}_x}{\mathrm{d}{z}^2}+k_m^2{E}_x=0,k_m\equiv \omega \sqrt{\mu \epsilon }\sqrt{1-j\tan \delta }=\beta -j\alpha$$

解为 $E_x(z)=E_0{e}^{-j{k}_{m}z}=E_0{e}^{-\alpha z}{e}^{-j\beta z}$,时域 $E_0{e}^{-\alpha z}\cos (\omega t-\beta z)$(式 (1.54))。

为什么要把 $k_m$ 拆成 $\alpha$、$\beta$。$k_m$ 由 $\mu ,\epsilon ,\sigma ,\omega$ 算出,是一个复数;它进入解的方式是指数 $e^{-j{k}_{m}z}$。把复数拆成实虚部后,指数自动分成两个物理上不同的因子:$e^{-\alpha z}$ 是幅值随距离的衰减,$e^{-j\beta z}$ 是相位随距离的推进。$\alpha$、$\beta$ 不是另一套参数,只是复波数两个分量各自的物理读法。

为什么”实部管相位、虚部管衰减”,与直觉相反。指数里 $k_m$ 前面有一个 $-j$:$-j{k}_{m}z=-j(\beta -j\alpha )z=-j\beta z-\alpha z$——那个 $j$ 把实虚部的角色对调了。若改用 Pozar 的传播常数 $\gamma \equiv j{k}_m=\alpha +j\beta$,解写成 $e^{-\gamma z}$,实部 $\alpha$ 就是衰减、虚部 $\beta$ 就是相位,符合直觉。两种记法是同一件事,差一个 $j$。

$t=0$ 时刻 $E_x(z)/E_0=e^{-\alpha z}\cos (\beta z)$,肌肉级参数、64 MHz($\alpha =11.0$ Np/m,$\beta =15.8$ rad/m)。虚线为包络 $\pm e^{-\alpha z}$;红色标出一个波长 $\lambda =2\pi /\beta$,绿色标出包络降到 $1/e$ 的位置 $1/\alpha$。走一个波长幅值只剩 1.2%,所以图上只看得到一个起伏。按本节公式用 Mathematica 绘出。

同一参数下 $E_x(z,t)/E_0=e^{-\alpha z}\cos (\omega t-\beta z)$ 随时间的演化(一个周期 24 帧):波形整体向 $+z$ 推进,包络不动。

3. 解出 α 与 β

把 $k_m^2=(\beta -j\alpha {)}^2={\beta }^2-{\alpha }^2-2j\alpha \beta$ 与 ${\omega }^2\mu \epsilon (1-j\tan \delta )$ 的实部、虚部分别对应:

$${\beta }^2-{\alpha }^2={\omega }^2\mu \epsilon ,2\alpha \beta ={\omega }^2\mu \epsilon \tan \delta$$

联立(消去一个未知量后是 ${\beta }^2$ 的二次方程,取正根),记 $q\equiv \sqrt{1+{\tan }^2\delta }$:

$$\beta =\omega \sqrt{\frac{\mu \epsilon }{2}}\sqrt{q+1},\alpha =\omega \sqrt{\frac{\mu \epsilon }{2}}\sqrt{q-1}$$

自检:$\tan \delta =0$ 时 $q=1$,$\alpha =0$、$\beta =\omega \sqrt{\mu \epsilon }$,退回无损。

4. 导出量

$$\lambda =\frac{2\pi }{\beta },\frac{\alpha }{\beta }=\sqrt{\frac{q-1}{q+1}},A_{\lambda }\equiv \alpha \lambda =2\pi \frac{\alpha }{\beta }\text{(Np)}=8.686\times 2\pi \frac{\alpha }{\beta }\text{(dB)}$$

• $\lambda$(m):波长;
• $1/\alpha$(m):幅值 1/e 衰减长度(良导体极限下即趋肤深度);
• $A_{\lambda }$:每波长衰减——波前进一个波长幅值下降多少,只依赖 $\tan \delta$,与 $\epsilon$、$\sigma$、$f$ 的绝对值无关;
• 功率密度:单位体积耗散功率的时间平均值 $p=\frac{1}{2}\sigma |E{|}^2$(W/m³),来自 $\mathbf{J}\cdot \mathbf{E}$ 的传导部分(位移电流不耗能);沿传播方向的功率流密度 $S=\frac{1}{2}\mathrm{Re}(E_x{H}_y^{\ast })$(W/m²)与 $p$ 都按 $e^{-2\alpha z}$ 衰减,1/e 长度 $1/(2\alpha )$。平面波没有”单位长度功率”这个量;那是传输线上 $\frac{1}{2}{R}^{\prime }|I{|}^2+\frac{1}{2}{G}^{\prime }|V{|}^2$ 的说法,见 transmission-line-equations。

两个极限:

极限	条件	$\beta$	$\alpha$	$A_{\lambda }$
低损介质	$\tan \delta \ll 1$	$\approx \omega \sqrt{\mu \epsilon }$	$\approx \frac{\sigma }{2}\sqrt{\mu /\epsilon }$(与 $f$ 无关)	$\approx \pi \tan \delta$,很小
良导体	$\tan \delta \gg 1$	$\approx \sqrt{\omega \mu \sigma /2}$	$\approx \beta$	$\to 2\pi$ Np $=54.6$ dB(上限)

良导体极限下 $1/\alpha =\sqrt{2/(\omega \mu \sigma )}$ 即经典趋肤深度;每波长衰减饱和在 54.6 dB——波在导体里走一个波长就衰掉 $e^{-2\pi }$。

5. 给定 ε、σ 后,衰减随频率怎么变

$\tan \delta =\sigma /(2\pi f\epsilon )$ 随频率下降,分界频率 $f_c=\sigma /(2\pi \epsilon )$($\tan \delta =1$ 处):

• $f\ll f_c$:介质像导体,$\alpha \approx \beta \propto \sqrt{f}$,$A_{\lambda }\to 54.6$ dB;
• $f\gg f_c$:介质像低损电介质,$\beta \propto f$、$\alpha \to$ 常数 $\frac{\sigma }{2}\sqrt{\mu /\epsilon }$,$A_{\lambda }\propto 1/f$ 下降。

高含水组织在 MRI 频段落在分界附近偏导体一侧。按肌肉 ${\epsilon }_r\approx 72$、$\sigma \approx 0.69$ S/m 估 $f_c\approx 170$ MHz,64 MHz 与 128 MHz 都在其下。下表为常数 $({\epsilon }_r,\sigma )$ 下的计算值(组织参数取 Gabriel 参数模型的数量级,[待确认]:真实组织有色散,${\epsilon }_r$ 随频率降、$\sigma$ 随频率升,精确值须查 IT’IS 数据库):

介质	$f$ (MHz)	$\tan \delta$	$\alpha$ (Np/m)	$\beta$ (rad/m)	$\lambda$ (m)	$1/\alpha$ (cm)	$A_{\lambda }$ (dB)
肌肉(${\epsilon }_r$=72, $\sigma$=0.69)	64	2.70	11.0	15.8	0.40	9.1	38.0
肌肉	128	1.35	13.2	26.3	0.24	7.6	27.5
血液(${\epsilon }_r$=86, $\sigma$=1.21)	64	3.96	15.4	19.8	0.32	6.5	42.5
血液	128	1.98	19.4	31.5	0.20	5.2	33.6
脂肪(${\epsilon }_r$=6.5, $\sigma$=0.035)	64	1.52	2.2	4.1	1.55	45.9	29.4
脂肪	128	0.76	2.4	7.3	0.87	41.1	18.3

注意无损公式 $\lambda =c/(f\sqrt{{\epsilon }_r})$ 会高估波长:肌肉 64 MHz 无损算得 0.55 m,计入 $\sigma$ 后 $\beta$ 增大、$\lambda$ 缩到 0.40 m。

常数 $({\epsilon }_r,\sigma )$ 下三种组织的 $\alpha$、$\beta$、每波长衰减(dB)与 $1/\alpha$ 随频率的变化,点线为 64 / 128 MHz。每波长衰减在低频趋向导体上限 54.6 dB、高频按 $1/f$ 下降;由 §3–4 公式绘出,脚本 assets/wave-attenuation-in-lossy-tissue/plot_attenuation.py。

6. 适用边界

• 公式针对无界均匀介质中的平面波。点源或线源附近的场还带几何因子($1/r$ 等),但有耗介质的 Green 函数 $e^{-j{k}_{m}r}/r$ 里同样含 $e^{-\alpha r}$,$\alpha$、$1/\alpha$ 的含义照用。
• 对 MRI 的 RF 激励同样生效:线圈场进入人体后就是这种衰减波——$k_m$ 既支配入射场在体内的推进与衰减,也支配导线散射场向周围组织的扩散。但体内的入射场不是单一平面波(线圈从四周激励、体表折射、组织分层),本卡给的是”局部传播与衰减的性质”,不是体内场的分布本身;后者须由线圈—人体仿真给出。
• 组织有色散:$\epsilon$、$\sigma$ 随频率变化,上表按常数参数计算,只给数量级;不同组织($\epsilon$、$\sigma$ 差一个量级)结果差别大,脂肪中 $1/\alpha$ 可达半米。
• 非磁性假设 $\mu ={\mu }_0$;层状或非均匀组织须另做边界问题。

这些量在具体问题里分别回答什么(远场是否存在、场的作用范围、能量沉积在哪),属于它们的用法,不在本卡展开。

参考

• David M. Pozar, Microwave Engineering, 4th ed., Wiley, 2012, ISBN 978-0-470-63155-3,§1.4 “Plane Waves in a General Lossy Medium”,式 (1.50)–(1.55):有耗介质中 Maxwell 旋度方程、复传播常数 $\gamma =\alpha +j\beta =j\omega \sqrt{\mu \epsilon }\sqrt{1-j\sigma /(\omega \epsilon )}$、一维波动方程与平面波解、损耗角正切定义。库内副本:Microwave_Engineering_Pozar > Plane Waves in a General Lossy Medium。本卡 §1–2 逐式核对自该节;§3–4 的闭式为本卡由式 (1.52) 平方后自行解出。
• S. Gabriel, R. W. Lau, C. Gabriel, “The dielectric properties of biological tissues: III. Parametric models for the dielectric spectrum of tissues,” Phys. Med. Biol. 41 (1996) 2271–2293 —— 组织 ${\epsilon }_r$、$\sigma$ 参数模型的来源;数值查询入口:IT’IS Foundation Tissue Properties Database(https://itis.swiss/virtual-population/tissue-properties/)。本卡表中数值为按该模型的数量级取值,**未逐项核对**,标 [待确认]。

关联

• 相关概念:transmission-line-equations、field-excited-transmission-line、lead-resonant-length(组织波长与谐振长度)、larmor-frequency(频率来源)
• hazard:rf-heating