transmission-line equations (telegrapher's equations)

transmission-line equations(传输线方程 / 电报方程)

本卡讲方程本身:它为什么被需要、怎么从集总电路知识出发导出、怎么解、什么时候必须考虑相位。植入导线上这套方程的具体应用(传递函数、谐振长度)见 lead-transfer-function 与 lead-resonant-length,本卡不重复。外场沿线激励这一情形另见 field-excited-transmission-line。

记号约定:本卡单位长度参数用带撇大写 $R^{\prime },L^{\prime },G^{\prime },C^{\prime }$,反射系数用 $\rho$,导线长度用 $\ell$($L$ 留给电感,避免混淆)。参考教材(Paul 2008)用不带撇小写 $r,l,g,c$、反射系数记 $\hat{\Gamma }$、线长记 $\mathcal{L}$——是同一组量,只是记号不同。

概念

1. 动机:集总模型什么时候失效

集总 RLC 电路的基尔霍夫定律隐含一个前提:电磁效应可以”集中”到一个点上——同一时刻,一个元件两端的电压、流过它的电流是单一的数,元件内部没有空间坐标。这个前提成立的条件是元件(以及连线)的尺寸远小于工作波长:电磁扰动以有限速度传播,尺寸电小时,传播时延对应的相位差可以忽略,整个元件近似”同时”感受同一状态。

尺寸与波长可比时前提破裂:导体上不同位置在同一时刻处于波形的不同相位,电压和电流成了位置的函数 $V(z,t)$、$I(z,t)$——$z$ 为沿线坐标(单位 m),$t$ 为时间(单位 s)。此时对整个结构写一个 KVL 回路方程,等于强行让沿线各处共享同一个电流,把相位差抹掉了。

判据用电长度:结构最大尺寸 $\ell$(单位 m)与波长 $\lambda$(单位 m)之比。$\ell \ll \lambda$ 时集总模型可用(工程习惯常取 $\ell <\lambda /10$ 作数量级界限,不是硬阈值);$\ell$ 与 $\lambda$ 同量级或更长时必须按分布参数处理。用相位常数表述即 $\beta \ell \ll 1$($\beta$ 见 §5)。对 MRI 场景:1.5 T 的 RF 频率 64 MHz 在高含水组织中波长约 0.5 m,与几十厘米长的植入导线同量级,正落在集总模型失效区。

传输线理论的出路不是抛弃基尔霍夫定律,而是只在它仍然成立的地方用它:把线切成长度 $\Delta z\to 0$ 的微段,每一段电小,对每段写 KVL/KCL,再取极限——这就是 §4 的推导。

2. 适用前提:准 TEM

方程成立的物理前提(Paul 2008 §1.2、§1.5):

• TEM 场结构:电场、磁场都落在垂直于线轴的横截面内,无纵向分量。这时横截面内的场分布与静态场相同,电压 $V$(单位 V,两导体间横向电场的线积分)和电流 $I$(单位 A,环绕一根导体的磁场环量)才有唯一定义——否则”电压”依赖积分路径,方程里的未知量本身就不成立。
• 准 TEM:导体有损耗(表面出现纵向电场)或介质不均匀(严格说破坏 TEM)时,假定这些偏离足够小,仍按 TEM 框架处理,把损耗计入单位长度参数。这是工程近似,称准 TEM。
• 横向尺寸电小:导体间距、截面尺寸远小于波长。高阶模在典型结构中截止频率在 GHz 量级,其下只有 TEM 模传播。
• 返回路径可定义:两导体(信号+返回)成对,任一横截面上电流代数和为零。

不适用的情形:频率高到高阶模传播;横截面电流不归零(附近金属结构、不对称激励引起的天线模/共模电流——传输线方程根本不描述这部分电流);导体不平行或截面沿线剧变的非均匀线(须分段处理);辐射损耗显著的结构。浸在导电组织中的植入导线没有离散返回导体,返回电流弥散在组织里,“传输线”是一种等效描述,其成立依据与局限见 lead-transfer-function。

3. 单位长度参数

分布参数模型把线的全部截面信息浓缩为四个”每米”量(Paul 2008 §2.3;定义均在准 TEM 下由横截面静态场分析得出):

• $R^{\prime }$(单位 Ω/m):串联电阻。两根导体的导体损耗之和(信号导体 + 返回导体),代表沿线的焦耳损耗。
• $L^{\prime }$(单位 H/m):串联电感。每米线长上穿过两导体间回路面的磁通与电流之比,代表磁场储能。
• $C^{\prime }$(单位 F/m):并联电容。每米线长上导体表面电荷与电压之比,代表两导体间电场储能。
• $G^{\prime }$(单位 S/m):并联电导。每米线长上经介质从一根导体横向流到另一根的传导电流与电压之比,代表介质损耗(对植入导线即组织的电导)。

注意 $R^{\prime },L^{\prime }$ 描述沿线方向的效应(压降),$G^{\prime },C^{\prime }$ 描述横向的效应(分流)。均匀介质下有恒等关系 $L^{\prime }{C}^{\prime }=\mu \epsilon$、$G^{\prime }/C^{\prime }=\sigma /\epsilon$($\mu$ 为介质磁导率,单位 H/m;$\epsilon$ 为介电常数,单位 F/m;$\sigma$ 为电导率,单位 S/m),即 $L^{\prime },C^{\prime },G^{\prime }$ 不独立,由截面几何加介质常数决定。

4. 从 Δz 集总胞元到方程

一段长 $\Delta z$ 的传输线的集总等效电路。上支路串联 $R^{\prime }\Delta z$（导体电阻）与 $L^{\prime }\Delta z$（回路自感），并联支路为 $G^{\prime }\Delta z$（介质与周围媒质的漏电导）与 $C^{\prime }\Delta z$（两导体间的电容）。整条线是无穷多个这样的胞元首尾相接。图片作者 Omegatron，CC BY-SA 3.0，经 Wikimedia Commons；图中记号为 $R,L,G,C$ 乘 $\mathrm{d}x$，与本卡的 $R^{\prime }\Delta z$ 等同义。

取一段长 $\Delta z$(单位 m)的线。它电小,集总定律适用,等效电路是:串联支路 $R^{\prime }\Delta z$ 与 $L^{\prime }\Delta z$,并联支路 $G^{\prime }\Delta z$ 与 $C^{\prime }\Delta z$(Paul 2008 §2.2 图 2.5)。

KVL:从 $z$ 端出发绕回路一圈,压降来自串联电阻与电感:

$$V(z+\Delta z,t)-V(z,t)=-R^{\prime }\Delta zI(z,t)-L^{\prime }\Delta z\frac{\partial I(z,t)}{\partial t}$$

KCL:在段末节点,流入减流出等于经并联支路漏走的电流:

$$I(z+\Delta z,t)-I(z,t)=-G^{\prime }\Delta zV(z+\Delta z,t)-C^{\prime }\Delta z\frac{\partial V(z+\Delta z,t)}{\partial t}$$

两式各除以 $\Delta z$,左边成为差商;令 $\Delta z\to 0$,差商变导数,KCL 右边的 $V(z+\Delta z,t)\to V(z,t)$(这一步说明并联支路挂在段首还是段尾在极限下无差别),得两个一阶偏微分方程——电报方程:

$$\frac{\partial V}{\partial z}=-R^{\prime }I-L^{\prime }\frac{\partial I}{\partial t}$$ $$\frac{\partial I}{\partial z}=-G^{\prime }V-C^{\prime }\frac{\partial V}{\partial t}$$

物理读法:电压沿线的变化率由串联阻抗上的压降决定;电流沿线的变化率由并联导纳分走的电流决定。电流不再沿线守恒——每一段都可经 $G^{\prime },C^{\prime }$ 横向漏走一部分,这是分布模型与单回路集总模型的本质区别。

两点务必分清:

• 胞元图不是又一层近似。同一组方程可以不画任何电路、直接从 Maxwell 方程组积分形式(Faraday 定律给第一式、电荷守恒给第二式)导出(Paul 2008 §2.1),结果逐项相同。等效电路只是把 Maxwell 方程的内容翻译成电路语言;全部物理都装在四个单位长度参数里。
• 近似不在取极限,在准 TEM。$\Delta z\to 0$ 是严格的数学操作;误差来源是 §2 列的前提。

频域形式:正弦稳态下取相量(时间约定 ${\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega t}$,$\omega$ 为角频率,单位 rad/s;$\mathrm{j}$ 为虚数单位),$\partial /\partial t\to \mathrm{j}\omega$,偏微分方程变常微分方程:

$$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}z}=-Z^{\prime }I,\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}z}=-Y^{\prime }V$$

其中 $Z^{\prime }=R^{\prime }+\mathrm{j}\omega L^{\prime }$ 为单位长度串联阻抗(单位 Ω/m),$Y^{\prime }=G^{\prime }+\mathrm{j}\omega C^{\prime }$ 为单位长度并联导纳(单位 S/m)。下文在频域讨论,$V,I$ 均指复振幅。

5. 消元与通解

两个一阶方程各含两个未知量,消元:对第一式再求一次 $z$ 导数、代入第二式,

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}V}{\mathrm{d}{z}^2}=Z^{\prime }{Y}^{\prime }V\equiv {\gamma }^{2}V$$

$I$ 满足同一形式的方程。$\gamma$ 是传播常数(单位 1/m):

$$\gamma =\sqrt{Z^{\prime }{Y}^{\prime }}=\alpha +\mathrm{j}\beta$$

• $\alpha$(实部,单位 Np/m):衰减常数,由 $R^{\prime },G^{\prime }$ 的损耗产生,决定波幅沿线按 ${\mathrm{e}}^{-\alpha z}$ 衰减;无损线($R^{\prime }=G^{\prime }=0$)时 $\alpha =0$。
• $\beta$(虚部,单位 rad/m):相位常数,决定相位沿线按 $\beta z$ 推进。走过一个波长相位推进 $2\pi$,故 $\beta =2\pi /\lambda$;相速 $v=\omega /\beta$(单位 m/s)。无损时 $\beta =\omega \sqrt{L^{\prime }{C}^{\prime }}$。

二阶常系数方程的通解是两个指数解的线性组合:

$$V(z)=V^{+}{\mathrm{e}}^{-\gamma z}+V^{-}{\mathrm{e}}^{+\gamma z}$$

$V^{+},V^{-}$ 为待定复常数(单位 V),由两端边界条件决定。回代一阶方程得电流:

$$I(z)=\frac{V^{+}}{Z_c}{\mathrm{e}}^{-\gamma z}-\frac{V^{-}}{Z_c}{\mathrm{e}}^{+\gamma z}$$

其中

$$Z_c=\sqrt{Z^{\prime }/Y^{\prime }}$$

为特性阻抗(单位 Ω):不是任何一处的”输入阻抗”,而是单支行波内部 $V$ 与 $I$ 的固定比值。无损时 $Z_c=\sqrt{L^{\prime }/C^{\prime }}$ 为纯实数;有损时为复数,辐角至多 45°。

物理解读:乘回 ${\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega t}$ 取实部,$V^{+}$ 支为 $V^{+}{\mathrm{e}}^{-\alpha z}\cos (\omega t-\beta z+{\theta }^{+})$——相位不变点满足 $\omega t-\beta z=$ 常数,随 $t$ 增大 $z$ 增大,是前向波(向 $+z$ 传播、边传边衰减);$V^{-}$ 支同理是后向波。两支波的电流符号相反($V^{\pm }=\pm Z_c{I}^{\pm }$),因为功率流向相反。通解就是:线上任意状态 = 一列前向波 + 一列后向波的叠加,各自带两个自由度(幅值与初相),恰好被两端各一个边界条件锁定。

6. 有终端负载:反射与多次往返

设线长 $\ell$,近端 $z=0$ 接源(内阻抗 $Z_1$,单位 Ω),远端 $z=\ell$ 接负载 $Z_2$(单位 Ω)。负载端要求 $V(\ell )=Z_{2}I(\ell )$;把通解代入,得后向波与前向波在该端的比值,即反射系数(无量纲复数):

$$\rho =\frac{Z_L-Z_c}{Z_L+Z_c}$$

($Z_L$ 代指该端端接阻抗。)读法:$Z_L=Z_c$ 时 $\rho =0$,前向波被完全吸收,无反射(匹配);开路 $\rho =+1$、短路 $\rho =-1$,全反射,只差反射波极性。记两端反射系数为 ${\rho }_1$(源端)、${\rho }_2$(负载端)。

两端条件联立解出 $V^{+},V^{-}$ 后,线上电压电流的闭式解共用一个分母(Paul 2008 式 (6.39)/(6.70),$V_S$ 为源电动势):

$$V(z)=\frac{1+{\rho }_2{\mathrm{e}}^{-2\gamma \ell }{\mathrm{e}}^{2\gamma z}}{1-{\rho }_1{\rho }_2{\mathrm{e}}^{-2\gamma \ell }}\cdot \frac{Z_c}{Z_c+Z_1}{V}_S{\mathrm{e}}^{-\gamma z}$$

分母 $1-{\rho }_1{\rho }_2{\mathrm{e}}^{-2\gamma \ell }$ 是”多次往返叠加”的求和结果。 用几何级数展开(收敛因为 $|{\rho }_1{\rho }_2{\mathrm{e}}^{-2\gamma \ell }|<1$):

$$\frac{1}{1-{\rho }_1{\rho }_2{\mathrm{e}}^{-2\gamma \ell }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\left({\rho }_1{\rho }_2{\mathrm{e}}^{-2\gamma \ell }\right)}^n$$

每一项 ${\rho }_1{\rho }_2{\mathrm{e}}^{-2\gamma \ell }$ 正是波在线上打一个来回的完整经历:传播 $2\ell$ 的距离(相位推进 $2\beta \ell$、幅度衰减 ${\mathrm{e}}^{-2\alpha \ell }$),加两端各反射一次(${\rho }_1{\rho }_2$)。$n$ 项即往返 $n$ 次的残余。稳态解不是”一列波”,而是无穷多次往返的相干叠加;各次往返近乎同相时分母模变小、响应被抬高——这就是驻波谐振的来源。谐振条件、这个往返因子取极大的条件就是谐振长度,在外场激励下解出终端响应时它直接决定峰的位置,见 field-excited-transmission-line;在植入导线上的具体用法见 lead-transfer-function 与 lead-resonant-length。

7. 相位:什么时候必须考虑

(a) 什么时候可以不考虑:电小极限

$\beta \ell \ll 1$(且 $\alpha \ell \ll 1$)时 ${\mathrm{e}}^{\pm \gamma \ell }\approx 1\mp \gamma \ell$:波从一端到另一端相位几乎不推进,幅度几乎不衰减,全线在同一时刻近似处于同一相位——集总前提恢复。此时整根线塌缩为一个胞元:串联 $Z^{\prime }\ell$、并联 $Y^{\prime }\ell$,对它写普通 KVL/KCL 即可,分母 $1-{\rho }_1{\rho }_2{\mathrm{e}}^{-2\gamma \ell }$ 不再随 $\ell$ 起伏,谐振现象消失。集总电路是电报方程在 $\beta \ell \to 0$ 的极限,不是与它并列的另一套理论。

(b) 激励本身沿线有相位分布:交给下一张卡

当线不是被端口的集中源驱动,而是被一个沿线分布、且各处相位不同的外场驱动时,方程右端要加上分布源项:$\mathrm{d}V/\mathrm{d}z=-Z^{\prime }I+E_{\tan }(z)$。此时 $V$ 的含义、闭式解、谐振长度条件与不同激励相位造成的差别,构成一个独立的主题,见 field-excited-transmission-line;本卡不重复。

参考

• Clayton R. Paul, Analysis of Multiconductor Transmission Lines, 2nd ed., Wiley-Interscience / IEEE Press, 2008, ISBN 978-0-470-13154-1. 本卡全部方程与前提逐节核对自该书(记号差异见卡首约定):

  • Ch.1 引言与 §1.2(书 p.8 起):集总近似的电小前提(引言明言”结构最大尺寸电小——远小于波长——时才可把电磁效应集总为电路元件”)、TEM 场结构下电压电流的唯一可定义性、准 TEM 假设 —— 支撑本卡 §1、§2。
  • §1.5:高阶模与天线模电流对传输线描述的限制 —— 支撑本卡 §2 的不适用情形。
  • §2.1(p.71 起):由 Faraday 定律与电荷守恒的积分形式直接导出两方程 —— 支撑本卡 §4”胞元图不是又一层近似”。
  • §2.2(p.77):$\Delta z$ 集总等效电路 + KVL/KCL + 取极限,式 (2.18)–(2.21) —— 本卡 §4 推导即按此路线。
  • §2.3(p.78):单位长度参数的场定义与均匀介质恒等关系,式 (2.22)–(2.23) —— 支撑本卡 §3。
  • §6.1–6.2 与 §6.2.1(p.244 起):频域方程、通解、反射系数式 (6.19)、输入阻抗 —— 支撑本卡 §5、§6。
  • §6.2.2(p.247):两端端接的终端解,式 (6.39) 含分母 $1-{\hat{\Gamma }}_S{\hat{\Gamma }}_L{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}2\beta \mathcal{L}}$ —— 支撑本卡 §6(无损形式)。
  • §6.3(p.258 起):有耗线,$\hat{\gamma }=\alpha +\mathrm{j}\beta$、复特性阻抗式 (6.59)/(6.61),式 (6.70) 为分母的有耗推广 —— 支撑本卡 §5、§6(有耗形式)。
  • Ch.11 §11.1 / §11.1.1(p.578 / p.585):入射场激励下带分布源的传输线方程、源的等价表示、散射电压与总电压之别 —— 支撑本卡 §7(b)。

• Agrawal AK, Price HJ, Gurbaxani SH. “Transient response of multiconductor transmission lines excited by a nonuniform electromagnetic field.” IEEE Trans Electromagn Compat 1980;EMC-22(2):119–129. doi:10.1109/TEMC.1980.303824 —— 第 7 节 (b) 用的散射电压形式（源项只出现在电压方程）出自这一族公式化，与 Paul 第 11 章采用的总电压（Taylor）形式源项分置两式不同；两者等价，差别在 $V$ 的物理含义与端部边界条件是否含横向场积分项。题录经 DOI 核验，正文未逐句核对。

关联

• 相关概念:lead-transfer-function(下游卡:把本卡方程用于植入导线,含分布源闭式解与谐振分析)、lead-resonant-length
• 相关源卡:US7363090B2_Greatbatch
• hazard:rf-heating