field-excited transmission line(外场激励下的传输线)

transmission-line-equations 里的波都由端部的源驱动。外场激励问题不同:入射电磁场沿线逐段注入电动势,源分布在整条线上——MRI RF 场驱动植入导线正是这种情形。本卡讲激励如何进入方程、均匀线的闭式解、谐振条件及其限度、以及激励相位分布对响应的改写。方程本身、通解、反射系数与往返因子见前置卡,此处不重复;把这套解法包装成对任意路径可复用的传递函数,见下游卡 lead-transfer-function。

概念

1. 激励怎么进方程

采用 Agrawal 的散射电压形式:入射场只以一个源项出现——导体表面的入射切向电场,像沿线摊开的分布串联电压源:

\frac{d V}{d z} = - Z^{'} I + E_{t a n} (z), \frac{d I}{d z} = - Y^{'} V

$z$ :沿线坐标,单位 m; $E_{t a n} (z)$ :入射切向电场的复振幅,单位 V/m——“入射”指未放入导线时该路径上的场,它带相位,是复数值函数。
$Z^{'} = R^{'} + j ω L^{'}$ (Ω/m)、 $Y^{'} = G^{'} + j ω C^{'}$ (S/m):单位长度串联阻抗与并联导纳,含义见 transmission-line-equations §3。
$V$ 、 $I$ :电压与电流复振幅(V、A)。

$V$ 的含义已变:这种写法里 $V$ 是散射电压(总电压减去入射场的横向线积分),不再是总电压;端接条件的严格写法带一个端部横向场积分修正项,量级为横向尺寸与线长之比(对植入导线约 $1 0^{- 2}$ 以下),通常略去。电流 $I$ 无总/散射之分——两种经典公式化(Taylor 的总电压形式、Agrawal 的散射电压形式)对 $I$ 给出同一个解,而发热评估关心的正是电流。

2. 均匀线的闭式解

设均匀线长 $ℓ$ (m),近端( $z = 0$ )接集总阻抗 $Z_{p}$ 、远端( $z = ℓ$ )接 $Z_{t}$ (Ω),即边界条件 $V (0) = - Z_{p} I (0)$ 、 $V (ℓ) = Z_{t} I (ℓ)$ 。求解分三步:

消元:对电流方程求导、代入电压方程,得受迫波动方程 $I^{''} - γ^{2} I = - Y^{'} E_{t a n} (z)$ ,其中 $γ = Z^{'} Y^{'} = α + j β$ 为传播常数(1/m)。
通解 = 齐次解 + 特解:齐次解是前置卡的两支行波;对均匀同相激励 $E_{t a n} (z) = E_{0}$ (常数,V/m),特解为常数 $I_{p} = E_{0} / Z^{'}$ ——每米电动势除以每米串联阻抗,即无限长线上的直流式响应。
边界条件定常数:两条件构成 2×2 线性方程组,其行列式恰好正比于往返因子 $1 - ρ_{p} ρ_{t} e^{- 2 γ ℓ}$ ( $ρ_{p}, ρ_{t}$ 为两端反射系数,定义见前置卡 §6)。谐振分母在这一步出现,与激励形式无关——它是边界条件的行列式,不是某种激励的产物。

解出的远端(电极端)电流:

I (ℓ) = E_{0} \frac{Z _{p} ( cosh γ ℓ - 1 ) + Z _{c} sinh γ ℓ}{γ [ Z _{c} ( Z _{p} + Z _{t} ) cosh γ ℓ + ( Z _{c}^{2} + Z _{p} Z _{t} ) sinh γ ℓ ]}

$Z_{c} = Z^{'} / Y^{'}$ 为特性阻抗(Ω)。分母可用反射系数改写为恒等式

Z_{c} (Z_{p} + Z_{t}) cosh γ ℓ + (Z_{c}^{2} + Z_{p} Z_{t}) sinh γ ℓ = \frac{1}{2} (Z_{c} + Z_{p}) (Z_{c} + Z_{t}) e^{γ ℓ} (1 - ρ_{p} ρ_{t} e^{- 2 γ ℓ})

(闭式与恒等式均经符号推导与独立数值边值解双重核验。)

3. 谐振条件及其限度

记 $w = ρ_{p} ρ_{t} e^{- 2 γ ℓ}$ 。 $∣1 - w ∣$ 取最小要求 $w$ 落在正实轴上,即

2 β ℓ \equiv ar g (ρ_{p} ρ_{t}) (mod 2 π)

$ar g (\cdot)$ 取复数辐角(rad)。物理意义:一个往返的传播相位 $2 β ℓ$ 与两次端部反射的附加相位恰好相抵成 $2 π$ 整数倍,多次往返的贡献同相叠加(往返相位对齐)。 $ar g (ρ_{p} ρ_{t}) = 0$ (两端同性)退化为 $ℓ \approx nλ /2$ ; $= π$ (一端近短路、一端高阻)落在奇数个 $λ /4$ ;实际端接是复阻抗,落在二者之间。

两条限度:

$α$ 决定峰锐度: $α ℓ$ 越大峰越平缓; $α > 0$ 还使 $∣ w ∣$ 随 $ℓ$ 递减,峰位比相位条件略向短处偏(算例中毫米级)。只要 $α > 0$ 或 $∣ ρ_{p} ρ_{t} ∣ < 1$ ,分母不为零,峰值有限。
分母条件只近似峰位置: $I (ℓ)$ 的分子同样随 $ℓ$ 振荡,实际峰是分子分母的乘积效应。均匀同相激励、下图参数下,条件值与实际峰差数毫米(约 1%);激励相位沿线变化与 $β$ 同量级时,该近似失效(见 §4)。

终端电流随线长的变化均匀同相 1 V/m 激励下 $∣ I (ℓ) ∣$ 随线长的变化,64 MHz(1.5 T)与 128 MHz(3 T)。全部单位长度参数与终端阻抗均为算例假设值( $L^{'} = 800$ nH/m、 $C^{'} = 200$ pF/m、 $R^{'} = 5$ Ω/m、损耗角正切 0.1, $Z_{c} \approx 63$ Ω;远端 200 Ω,近端 200 pF 容性),不代表任何真实导线。虚线为谐振条件 $2 β ℓ \equiv ar g (ρ_{p} ρ_{t})$ 给出的长度,与曲线实际峰的偏差为毫米级(约 1%,64 MHz 下条件给 0.344/0.961/1.578 m,实际峰 0.340/0.958/1.572 m)。这列峰是均匀同相激励专属的结果,换激励相位分布后部分峰会消失或移位(§4),不可当作导线的固有属性。曲线由本卡闭式解绘出。

4. 两种激励的对比:相位失配删峰、移峰

真实体内场沿线有相位推进。取最简载体——行波激励 $E_{t a n} (z) = E_{0} e^{- j k z}$ ( $k$ 为场在周围介质中的波数,rad/m; $k = 0$ 退化为均匀同相),同一套边界条件解出:

I (ℓ) = \frac{E _{0} ( 1 - ρ _{t} ) e ^{- γ ℓ}}{2 Z _{c} ( 1 - ρ _{p} ρ _{t} e ^{- 2 γ ℓ} )} [\frac{e ^{(γ - j k) ℓ} - 1}{γ - j k} - ρ_{p} \frac{1 - e ^{- (γ + j k) ℓ}}{γ + j k}]

分母仍是同一个往返因子;激励只改写方括号(前项为沿线贡献的前向累加,后项为经近端反射的一支)。两项分母 $γ \mp j k$ 是线上波数与介质波数的拍:

$k \approx β$ 且损耗小(相位匹配):前项 $\to ℓ$ ,各段贡献同相到达、相干累加,响应正比于长度增长——行波天线的匹配条件。
$∣ β - k ∣ ℓ ≫ 1$ (失配):各段贡献沿线以拍波数旋转,每转过一圈贡献两两相消,加长导线不再带来正比累加。

失配不只压幅值,还改写峰列。算例(64 MHz、假设参数、 $β = 5.09$ rad/m、组织 $k \approx 11.2$ rad/m,失配约 2.2 倍):均匀同相激励的峰在 0.340/0.958/1.572/2.192 m;换行波激励后 0.958 m 的峰整个消失(激励积分恰好走到干涉低谷,把分母峰压掉),第 4 峰移位 37 cm。两种激励的幅值比在 0.4/0.5/0.6 m 处为 0.73/1.13/2.24——误差大小与方向都随长度翻转,无法用一个系数校正。

均匀同相假设什么时候站不住:它成立要求激励相位沿线几乎不变( $k ℓ ≪ π$ )。64 MHz、高含水组织( $λ \approx 0.56$ m)中 0.4–0.6 m 导线上相位推进已达 257°–386°——超过一整圈,差一个量级;128 MHz 波长近半,失配更甚。它也不保守:相位与线上响应共轭匹配的最坏激励,其耦合在算例中比均匀假设高近 4 倍。故均匀同相只可用作展示解析结构的教学示例;定量评估必须用真实幅相分布的复数 $E_{t a n} (z)$ (由线圈—人体仿真给出),这正是 lead-transfer-function 一卡处理的问题。

5. 电小极限

$β ℓ ≪ 1$ (且 $α ℓ ≪ 1$ )时闭式解退化为

I (ℓ) \to \frac{E _{0} ℓ}{Z _{p} + Z _{t}}

总电动势 $E_{0} ℓ$ 驱动两端接阻抗之和,线自身的分布特性消失——“感应量正比于长度”这一朴素结果只在电小段成立。 $β ℓ$ 到达 1 的量级后长度依赖变为振荡型(§3 图),不再单调;64/128 MHz 下数十厘米的植入导线正在此区间。

参考

Clayton R. Paul, Analysis of Multiconductor Transmission Lines, 2nd ed., Wiley-Interscience / IEEE Press, 2008, ISBN 978-0-470-13154-1, Ch.11 §11.1/§11.1.1(p.578 起):入射场激励下传输线方程的推导、分布源的等价表示、散射电压与总电压之别(§11.1 明文提醒:用散射电压定义的 $V$ 不是端接关系所定义的总电压,历史上造成过混乱)。已对照本地副本核对。注意 Paul 正文采用 Taylor 总电压形式(源项分置电压、电流两方程),本卡的单源散射电压形式出自下条 Agrawal;§11.1.1 给出两族源表示的等价性。
Agrawal AK, Price HJ, Gurbaxani SH. “Transient response of multiconductor transmission lines excited by a nonuniform electromagnetic field.” IEEE Trans Electromagn Compat 1980;EMC-22(2):119–129. doi:10.1109/TEMC.1980.303824 —— 散射电压公式化的出处,源项仅为入射切向电场。题录经 DOI 核验,正文未逐句核对。

关联

相关概念:transmission-line-equations(前置卡:方程、通解、反射系数与往返因子)、lead-transfer-function(下游卡:传递函数方法与 AIMD 评估用法)、lead-resonant-length
hazard:rf-heating

field-excited transmission line