mutual inductance of offset circular coils（圆形线圈横向错位下的互感）

概念

1. 互感：发射线圈的磁场穿过接收线圈的磁通

由电源驱动的线圈称发射线圈，另一个称接收线圈。发射线圈载电流 $I_1$ 时，它在任一场点 $\mathbf{r}$ 产生的磁通密度由比奥–萨伐尔定律（Biot–Savart law）给出 [1]：

$${\mathbf{B}}_1(\mathbf{r})=\frac{{\mu }_0{I}_1}{4\pi }{\oint }_{C_1}\frac{\mathrm{d}{\mathbf{\ell }}^{\prime }\times (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime })}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^3}\text{\hspace{1em}(1)}$$

即把发射线圈的导线分成小段 $\mathrm{d}{\mathbf{\ell }}^{\prime }$，每段对场点贡献一份磁场，沿整圈叠加 [1]。

${\mathbf{B}}_1$ 穿过接收线圈所围曲面 $S_2$ 的磁通（magnetic flux）为 [2]：

$$\begin{array}{rl}{\Phi }_{21}& ={\int }_{S_2}{\mathbf{B}}_1\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}\\ & =\frac{{\mu }_0{I}_1}{4\pi }{\int }_{S_2}\left[{\oint }_{C_1}\frac{\mathrm{d}{\mathbf{\ell }}^{\prime }\times (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime })}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^3}\right]\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

图 1 | 两单匝圆环的空间位置。 示意。a，侧视 $y=0$ 截面：× 为电流流入纸面，⊙ 为流出；蓝色条为 $S_2$ 的截面，紫色箭头为式 (1) 中由源点 ${\mathbf{r}}^{\prime }$ 指向场点 $\mathbf{r}$ 的位移。b，从 $+z$ 俯视：发射线圈电流与接收线圈电流参考方向均为逆时针，$\hat{\mathbf{n}}$ 指向纸外；$\alpha$ 为导线小段 $\mathrm{d}{\mathbf{\ell }}^{\prime }$ 的方位角，从场点所在方位（$+x$）起算（式 (6)）。长度以 $r_1$ 为单位；取值 $r_2/r_1=0.8$、$d_{\mathrm{g}}/r_1=1.6$、$d_{\mathrm{s}}/r_1=1.2$ 只为看清 [3]。

发射线圈通正弦电流 $i_1(t)=I_1\cos \omega t$ 时，每一瞬间的磁场都是电流峰值时刻的磁场乘以 $i_1(t)/I_1$：磁感线的形状与位置不变，强弱随 $|i_1|$ 变化，$i_1$ 过零时磁场处处为零，$i_1$ 变号时整体反向（图 2）。

图 2 | 发射线圈单独通电时 $y=0$ 截面上的磁场随相位的变化。 示意，一个周期播放 6 s。左：颜色为 $B_{1z}/B_{1z}(0,0)$，$B_{1z}(0,0)={\mu }_0{I}_1/(2r_1)$ 为峰值时刻发射线圈圆心处的值；细线为磁感线；长度以 $r_1$ 为单位。中间时刻的颜色深浅只示意强度随 $|i_1|$ 变化。右：电流波形与当前相位 [4]。

两线圈的互感（mutual inductance）为磁通与电流之比 [2]：

$$\begin{array}{rl}M& =\frac{{\Phi }_{21}}{I_1}\\ & =\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_{S_2}\left[{\oint }_{C_1}\frac{\mathrm{d}{\mathbf{\ell }}^{\prime }\times (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime })}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^3}\right]\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

式 (3) 是三重积分：方括号内沿 $C_1$ 一重，外层在 $S_2$ 上两重。发射线圈只出现在方括号内（$C_1$），接收线圈只出现在外层的积分面 $S_2$ 中。$r_1$、$r_2$、$d_{\mathrm{g}}$、$d_{\mathrm{s}}$ 不单独出现在式中，而是决定 $C_1$ 与 $S_2$ 在空间中的位置。$I_1$ 已约去，$M$ 只由两线圈的形状与相对位置决定。

$\mathrm{d}\mathbf{a}=\hat{\mathbf{n}}\mathrm{d}a$ 的法向 $\hat{\mathbf{n}}$ 由接收线圈的电流参考方向按右手定则确定。两电流参考方向取为同名端一致时 $M$ 为正 [2]；按图 1 的取法，$\hat{\mathbf{n}}=+\hat{\mathbf{z}}$，两线圈同轴时 $M>0$。

符号	含义	单位
$I_1$	发射线圈的电流	A
${\mathbf{B}}_1$	$I_1$ 单独产生的磁通密度	T
$C_1$	发射线圈的导线路径	—
$\mathrm{d}{\mathbf{\ell }}^{\prime }$	$C_1$ 上的导线小段，方向为电流方向	m
${\mathbf{r}}^{\prime }$	源点：$\mathrm{d}{\mathbf{\ell }}^{\prime }$ 所在位置	m
$\mathbf{r}$	场点：求磁场的位置，式 (2)、(3) 中取在 $S_2$ 上	m
$S_2$	以接收线圈导线为边界的曲面	m²
$\mathrm{d}\mathbf{a}=\hat{\mathbf{n}}\mathrm{d}a$	$S_2$ 的有向面元	m²
${\Phi }_{21}$	${\mathbf{B}}_1$ 穿过 $S_2$ 的磁通	Wb
$M$	发射线圈与接收线圈之间的互感	H
${\mu }_0$	真空磁导率，$4\pi \times 10^{-7}$	H/m
$r_1$、$r_2$	发射线圈、接收线圈的半径	m
$d_{\mathrm{g}}$	轴向距离：两线圈平面之间沿 $+z$ 的距离（AEDT 变量 Gap）	m
$d_{\mathrm{s}}$	横向错位：接收线圈圆心相对发射线圈轴线沿 $+x$ 的偏移（AEDT 变量 Slide）	m

2. 平面线圈：只有 $B_z$ 计入磁通，净磁通有正有负

$S_2$ 是 $z=d_{\mathrm{g}}$ 平面内以接收线圈为边界的圆盘，$\hat{\mathbf{n}}=+\hat{\mathbf{z}}$，于是

$${\mathbf{B}}_1\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}=B_{1z}\mathrm{d}a\text{\hspace{1em}(4)}$$

$B_{1x}$、$B_{1y}$ 与 $S_2$ 平行，不穿过 $S_2$，对 ${\Phi }_{21}$ 无贡献。式 (2) 化为 $S_2$ 上 $B_{1z}$ 的二重积分：

$${\Phi }_{21}={\iint }_{S_2}{B}_{1z}(x,y,d_{\mathrm{g}})\mathrm{d}x\mathrm{d}y,S_2:(x-d_{\mathrm{s}}{)}^2+y^2\le r_2^2\text{\hspace{1em}(5)}$$

把发射线圈的导线 ${\mathbf{r}}^{\prime }=r_1(\cos \alpha ,\sin \alpha ,0)$ 代入式 (1) 并取 $z$ 分量，矢量叉乘化为一个标量积分（推导见附录 A）：

$$B_{1z}(\rho ,z)=\frac{{\mu }_0{I}_1}{4\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{r_1(r_1-\rho \cos \alpha )}{{\left(r_1^2+{\rho }^2+z^2-2r_1\rho \cos \alpha \right)}^{3/2}}\mathrm{d}\alpha \text{\hspace{1em}(6)}$$

符号	含义	单位
$\rho$	场点到 $z$ 轴的距离，$\rho =\sqrt{x^2+y^2}$	m
$\alpha$	发射线圈导线小段 $\mathrm{d}{\mathbf{\ell }}^{\prime }$ 的方位角，从场点所在方位起算（图 1b）	rad

把式 (6) 代入式 (5) 并除以 $I_1$，互感只剩 $B_{1z}$ 这一个标量的积分：

$$\begin{array}{rl}M& =\frac{1}{I_1}{\iint }_{S_2}{B}_{1z}(x,y,d_{\mathrm{g}})\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\iint }_{S_2}{\int }_0^{2\pi }\frac{r_1(r_1-\rho \cos \alpha )}{{\left(r_1^2+{\rho }^2+d_{\mathrm{g}}^2-2r_1\rho \cos \alpha \right)}^{3/2}}\mathrm{d}\alpha \mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$

与式 (3) 相比，矢量的叉乘与点积化成了一个标量被积函数，积分仍是三重：$r_1$、$d_{\mathrm{g}}$ 出现在被积函数中，$r_2$、$d_{\mathrm{s}}$ 只决定积分区域 $S_2$。§4 的式 (18) 是同一个互感换到空间频率中的写法，在那里 $d_{\mathrm{g}}$、$d_{\mathrm{s}}$ 被分到不同的因子中。

发射线圈绕 $z$ 轴对称，$B_{1z}$ 只依赖 $\rho$ 与 $z$。式 (6) 被积函数的分母恒为正，正负由分子 $r_1-\rho \cos \alpha$ 决定：分子是场点的水平投影到该段导线切线的有符号距离，场点在切线靠圆心一侧时这段导线贡献的 $B_{1z}$ 为正，在外侧时为负（几何解释见附录 E）。各段贡献按距离加权后相加，$B_{1z}$ 可正可负。接收平面上 $B_{1z}$ 因此分为正、负两区（图 3）。把 $S_2$ 按 $B_{1z}$ 的符号分成两部分：

$${\Phi }_{21}={\Phi }_{+}-{\Phi }_{-},{\Phi }_{+}={\iint }_{S_2,B_{1z}>0}{B}_{1z}\mathrm{d}a\ge 0,{\Phi }_{-}={\iint }_{S_2,B_{1z}<0}|B_{1z}|\mathrm{d}a\ge 0\text{\hspace{1em}(8)}$$

其中 $B_{1z}$ 按式 (6) 在 $\rho =\sqrt{x^2+y^2}$、$z=d_{\mathrm{g}}$ 处取值。$M$ 的正负由 ${\Phi }_{+}$ 与 ${\Phi }_{-}$ 的相对大小决定。

图 3 | 发射线圈的磁场与零线。 空气中的单匝圆环，$r_2=r_1$，$d_{\mathrm{g}}=1.6r_1$（示意；长度以 $r_1$ 为单位）。a，侧视 $y=0$：颜色为 $B_{1z}/B_{1z}(0,0)$（红 $+z$、蓝 $-z$，色标对数分段，只表相对大小与正负）；细黑线为磁感线，相邻两条线绕 $z$ 轴旋转围成的环形管通过相同的磁通；粗黑线为零线轨迹 ${\rho }_0(z)$，黄虚线为式 (10) 取 $C=1$ 的双曲线，灰点线为远场渐近线 $\rho =\sqrt{2}z$。b，从 $+z$ 俯视接收平面：黑圆为零线，虚线圆为接收线圈的三个位置。c，三维：$z/r_1=0.8$、1.6、2.4 三层切片按 $B_{1z}$ 着色，黑圆为各层零线，灰色为零线连成的曲面 [5]。

3. 零线

接收平面上 $B_{1z}=0$ 的点是正、负两区的分界，称零线。发射线圈绕 $z$ 轴对称，零线是以 $z$ 轴为中心的圆，其半径 ${\rho }_0$ 满足

$${\int }_0^{2\pi }\frac{r_1-{\rho }_0\cos \alpha }{{\left(r_1^2+{\rho }_0^2+d_{\mathrm{g}}^2-2r_1{\rho }_0\cos \alpha \right)}^{3/2}}\mathrm{d}\alpha =0\text{\hspace{1em}(9)}$$

即式 (6) 取零。零线上 ${\mathbf{B}}_1$ 只剩径向分量，磁感线在此处切线水平（图 3a 中各条磁感线的拱顶）。$d_{\mathrm{g}}$ 连续变化时，这些点连成曲线 ${\rho }_0(z)$，绕 $z$ 轴旋转成一个曲面（图 3c）。

$\rho <r_1$ 时式 (9) 的分子处处为正，因此零线总在圆柱面 $\rho =r_1$ 之外：${\rho }_0>r_1$。${\rho }_0$ 没有显式解，可写成双曲线的形式（推导见附录 B）：

$${\rho }_0^2-2d_{\mathrm{g}}^2=C{r}_1^2\text{\hspace{1em}(10)}$$

$C$ 在 $d_{\mathrm{g}}\ll r_1$ 时趋于 1，在 $d_{\mathrm{g}}\gg r_1$ 时趋于 $7/6$（两端极限见附录 B）。数值计算表明，$C$ 随 $d_{\mathrm{g}}$ 由 1 单调增大到 $7/6$；在所算范围内取 $C=1$ 时，式 (10) 给出的 ${\rho }_0$ 偏小，最大相对误差为 −2.9 %。$d_{\mathrm{g}}\gg r_1$ 时零线趋于直线 ${\rho }_0=\sqrt{2}{d}_{\mathrm{g}}$，即磁偶极子场中 $B_z=0$ 的圆锥面，半顶角 $\arctan \sqrt{2}=54.7°$。

由式 (8) 可得两条推论（图 4）。

推论 1：$M=0$ 时零线必然穿过 $S_2$。 $r_2<{\rho }_0$ 时，横向错位使 $M$ 过零的位置 $d_{\mathrm{s}0}$ 满足

$${\rho }_0-r_2<d_{\mathrm{s}0}<{\rho }_0+r_2\text{\hspace{1em}(11)}$$

推论 2：两线圈同轴时 $M$ 恒为正；接收线圈半径等于零线半径（$r_2={\rho }_0$）时 $M$ 取最大值。 同轴时 $S_2$ 是半径 $r_2$ 的圆盘。$r_2$ 增大 $\mathrm{d}{r}_2$，$S_2$ 在外缘增加一条宽 $\mathrm{d}{r}_2$、面积 $2\pi r_2\mathrm{d}{r}_2$ 的圆环，穿过这条圆环的磁通为 $B_{1z}(r_2,d_{\mathrm{g}})\cdot 2\pi r_2\mathrm{d}{r}_2$，故

$$\frac{\mathrm{d}{\Phi }_{21}}{\mathrm{d}{r}_2}=2\pi r_2{B}_{1z}(r_2,d_{\mathrm{g}})\text{\hspace{1em}(12)}$$

$r_2<{\rho }_0$ 时新增的圆环在正区，${\Phi }_{21}$ 增大；$r_2>{\rho }_0$ 时在负区，${\Phi }_{21}$ 减小，并在 $r_2\to \infty$ 时趋于 0（整个接收平面上 $B_{1z}$ 的积分为零）。${\Phi }_{21}$ 先增后减、始终为正，最大值在 $r_2={\rho }_0$。此处取最大值的是 $M$；耦合系数还要除以随 $r_2$ 增大的接收线圈自感，其最大值不一定在 $r_2={\rho }_0$（见 coupling-coefficient）。

图 4 | 互感随横向错位与接收线圈半径的变化。 空气中的单匝圆环，$d_{\mathrm{g}}=1.6r_1$，${\rho }_0=2.50r_1$（示意；长度以 $r_1$ 为单位）。a，$M(d_{\mathrm{s}},r_2)/M_{\max }$ 曲面，$M_{\max }$ 为同轴、$r_2={\rho }_0$ 处的最大值（黄点）；黑线为 $M=0$。b，沿 $d_{\mathrm{s}}$ 的截线，逐条按 $M(d_{\mathrm{s}}=0)$ 归一化，圆点为过零位置。c，沿 $r_2$ 的截线，按 $M_{\max }$ 归一化：同轴（黑线）$M$ 恒正，最大值在 $r_2\approx {\rho }_0$ [6]。

4. 从拉普拉斯方程到互感的结构式

式 (3) 把 $d_{\mathrm{g}}$、$d_{\mathrm{s}}$ 埋在三重积分里，看不出各自的作用。改从磁场满足的微分方程出发，可以把两者分到不同的因子中。

拉普拉斯方程。 发射线圈上方（$z>0$）的空气中没有电流，$\nabla \cdot {\mathbf{B}}_1=0$、$\nabla \times {\mathbf{B}}_1=0$ [7]。对后者再取旋度，$\nabla \times (\nabla \times {\mathbf{B}}_1)=\nabla (\nabla \cdot {\mathbf{B}}_1)-{\nabla }^2{\mathbf{B}}_1=0$，得

$${\nabla }^2{B}_{1z}=0\text{\hspace{1em}(13)}$$

同心涟漪。 式 (13) 在圆柱坐标中绕 $z$ 轴对称、且随 $z$ 增大而衰减的基本解为

$$J_0(\kappa \rho )e^{-\kappa z},\kappa >0\text{\hspace{1em}(14)}$$

代入式 (13)，$z$ 方向求导给出 ${\kappa }^2$，径向部分化为零阶贝塞尔方程，$J_0$ 是其解 [7, 8]。$J_0(\kappa \rho )$ 在水平面上是以 $z$ 轴为中心的同心涟漪：中心一个峰，向外正负交替，相邻两个同号峰相距约 $2\pi /\kappa$。$e^{-\kappa z}$ 使涟漪随高度衰减，衰减到 $1/e$ 的高度为 $1/\kappa$，与涟漪间距成正比：涟漪越细，衰减越快（图 5a、b）。

$\kappa$ 是水平面上 $B_{1z}$ 分布的空间频率（空间波数），单位 rad/m，是一个连续取值的变量。

叠加。 $B_{1z}$ 是所有 $\kappa$ 的涟漪按权重 $w(\kappa )$ 的叠加：

$$B_{1z}(\rho ,z)={\int }_0^{\infty }w(\kappa )J_0(\kappa \rho )e^{-\kappa z}\mathrm{d}\kappa \text{\hspace{1em}(15)}$$

权重由发射线圈决定，由轴线上的磁场唯一确定（推导见附录 C）：

$$w(\kappa )=\frac{{\mu }_0{I}_1{r}_1}{2}\kappa J_1(\kappa r_1)\text{\hspace{1em}(16)}$$

式 (15) 是轴对称函数的二维傅立叶变换，称汉克尔变换（Hankel transform）[8]：$J_0(\kappa \rho )$ 是各方向平面波 $\cos (\mathbf{k}\cdot \mathbf{x})$ 在 $|\mathbf{k}|=\kappa$ 上的平均。$\kappa r_1\ll 1$ 的涟漪给出 $B_{1z}$ 的轮廓，$\kappa r_1\gg 1$ 的涟漪补充导线附近的细节；积分所含的 $\kappa$ 范围越宽，式 (15) 越接近真实值（图 5c）。

在接收线圈上积分。 把式 (15) 代入式 (5)。$S_2$ 是圆心在 $(d_{\mathrm{s}},0)$、半径 $r_2$ 的圆盘，每个涟漪在其上的积分为（推导见附录 C）

$${\iint }_{S_2}{J}_0(\kappa \rho )\mathrm{d}a=\frac{2\pi r_2}{\kappa }{J}_1(\kappa r_2)J_0(\kappa d_{\mathrm{s}})\text{\hspace{1em}(17)}$$

逐个涟漪积分再叠加，除以 $I_1$，得互感的结构式：

$$M(d_{\mathrm{g}},d_{\mathrm{s}})={\mu }_0\pi r_1{r}_2{\int }_0^{\infty }\underset{\text{尺寸}}{\underbrace{J_1(\kappa r_1)J_1(\kappa r_2)}}\underset{\text{横向}}{\underbrace{J_0(\kappa d_{\mathrm{s}})}}\underset{\text{轴向}}{\underbrace{e^{-\kappa d_{\mathrm{g}}}}}\mathrm{d}\kappa \text{\hspace{1em}(18)}$$

三个因子各管一件事：

• 轴向因子 $e^{-\kappa d_{\mathrm{g}}}$：$d_{\mathrm{g}}$ 越大，细涟漪衰减越多，只剩粗涟漪，$M$ 减小；
• 横向因子 $J_0(\kappa d_{\mathrm{s}})$：随 $d_{\mathrm{s}}$ 振荡、可取负值，$M$ 的变号来自这一项；粗涟漪的 $J_0$ 要在更大的 $d_{\mathrm{s}}$ 处才变号，所以 $d_{\mathrm{g}}$ 增大时过零错位外移，与零线随 $d_{\mathrm{g}}$ 外移（§3）一致；
• 尺寸因子 $J_1(\kappa r_1)J_1(\kappa r_2)$：只与两线圈半径有关，决定哪一段 $\kappa$ 对互感贡献最大。

同轴时式 (18) 即圆环磁矢势的贝塞尔积分式在接收线圈上的环量 [7]。式 (18) 与式 (3) 是同一积分在实空间与空间频率中的两种写法，数值一致（附录 C）。

图 5 | 发射线圈上方的 $B_{1z}$ 拆成同心涟漪。 示意；长度以 $r_1$ 为单位。a，同一变量 $\kappa$ 取三个值 $\kappa r_1=1.5$、4、10 时的单个涟漪 $J_0(\kappa \rho )e^{-\kappa z}$，侧视 $y=0$。b，三个涟漪的强度随高度按 $e^{-\kappa z}$ 衰减，圆点为衰减到 37 % 的高度 $1/\kappa$。c，$z=0.4r_1$ 处只积分到 $\kappa r_1$ 小于某值得到的 $B_{1z}/B_{1z}(0,0)$，与全部积分的真实值比较 [9]。

两个极限。 同轴（$d_{\mathrm{s}}=0$）时 $J_0=1$，式 (18) 积分得闭式 [8]：

$$M={\mu }_0\sqrt{r_1{r}_2}{Q}_{1/2}(\chi ),\chi =\frac{d_{\mathrm{g}}^2+r_1^2+r_2^2}{2r_1{r}_2}\text{\hspace{1em}(19)}$$

$Q_{1/2}$ 为第二类勒让德函数，随 $\chi$ 单调减小，同轴时 $M$ 随 $d_{\mathrm{g}}$ 单调减小。

两线圈相距远（$d_{\mathrm{g}}\gg r_1,r_2$）时，$e^{-\kappa d_{\mathrm{g}}}$ 只留下 $\kappa r\ll 1$ 的涟漪，$J_1(\kappa r)\approx \kappa r/2$ [8]，式 (18) 化为

$$M\approx \frac{{\mu }_0\pi r_1^2{r}_2^2}{4}\cdot \frac{2d_{\mathrm{g}}^2-d_{\mathrm{s}}^2}{{\left(d_{\mathrm{g}}^2+d_{\mathrm{s}}^2\right)}^{5/2}}\text{\hspace{1em}(20)}$$

即两个磁偶极子之间的互感：$M\propto d_{\mathrm{g}}^{-3}$，在 $d_{\mathrm{s}}=\sqrt{2}{d}_{\mathrm{g}}$ 处变号，与零线的远场渐近线 ${\rho }_0=\sqrt{2}{d}_{\mathrm{g}}$（§3）一致。

符号	含义	单位
$\kappa$	空间波数：涟漪相邻同号峰间距约 $2\pi /\kappa$，衰减高度 $1/\kappa$	rad/m
$J_0$、$J_1$	零阶、一阶第一类贝塞尔函数	1
$w(\kappa )$	波数为 $\kappa$ 的涟漪在 $B_{1z}$ 中的权重	T·m
$Q_{1/2}$	阶数 1/2 的第二类勒让德函数	1
$\chi$	式 (19) 的几何参数，$\chi >1$	1

5. 多匝平面螺旋线圈的互感

§1–§4 讨论的是两个单匝圆环。常用的无线充电线圈是多匝平面螺旋线圈，本节按 §1–§3 的顺序把各步推广到多匝：磁场、互感的定义式、只有 $B_z$ 计入、零线与推论，再回到 §4 的结构式，最后说明有限元中常用的均匀化圆环带。

几何。 平面螺旋的半径随方位角连续增大（图 6a）。匝距 $p$ 远小于半径时，每一圈近似为一个同心圆匝（图 6b）。发射线圈 $N_1$ 匝，第 $i$ 匝半径 $r_{1,i}$；接收线圈 $N_2$ 匝，第 $j$ 匝半径 $r_{2,j}$，各匝自内向外编号。§1–§4 中的接收线圈半径 $r_2$ 在多匝时指最外匝的半径，$r_2=r_{2,N_2}$。同一线圈的各匝位于同一平面，$d_{\mathrm{g}}$ 为发射线圈与接收线圈两平面之间的距离，$d_{\mathrm{s}}$ 为接收线圈圆心相对发射线圈轴线的横向错位。导线直径（线圈厚度 $t$）远小于 $d_{\mathrm{g}}$，理论计算中忽略厚度；有限元建模按实际几何给出两线圈的距离，与理论计算对照时取两线圈厚度中面之间的距离（§6）。

图 6 | 平面螺旋线圈的三种描述。 示意；$N_1=10$，$p=11$ mm，导线直径 5 mm。上排从 $+z$ 俯视，弧形箭头为电流方向（逆时针）；下排为 $y=0$ 截面的 $+x$ 侧，比上排放大约 2.6 倍，$x$、$z$ 同比例，左端竖点划线为轴线，水平点划线为中面。a，平面螺旋：下排为螺旋与 $+x$ 轴的交点，各圈位置比图 6b 的同心圆匝外移 $p/4$。b，同心圆匝：第 $i$ 匝半径 $r_{1,i}$（图中标出最内匝、中间一匝与最外匝），相邻两匝中心相距 $p$，导线半径 $r_{\mathrm{w}}$，× 为电流流入纸面。c，均匀化圆环带：内外半径 $r_{\mathrm{in}}$、$r_{\mathrm{out}}$，厚度 $t$，总电流 $N_1{I}_1$ 均匀分布在截面上 [12]。

磁场。 磁场是电流的线性函数，发射线圈的磁场是各匝磁场之和，每匝按式 (1) 计算：

$${\mathbf{B}}_1(\mathbf{r})=\sum _{i=1}^{N_1}\frac{{\mu }_0{I}_1}{4\pi }{\oint }_{C_{1,i}}\frac{\mathrm{d}{\mathbf{\ell }}^{\prime }\times (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime })}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^3}\text{\hspace{1em}(21)}$$

各匝串联，电流都是 $I_1$。离线圈平面稍远，各匝的场合成为一个整体，形状接近一个半径介于最内匝与最外匝之间的单匝圆环（图 7a）；贴近线圈平面，磁感线绕着几根导线一起闭合，在导线之间上下起伏（图 7a 插图）。

互感。 接收线圈第 $j$ 匝围出圆盘 $S_{2,j}$，穿过它的磁通为 ${\Phi }_{21,j}$。各匝串联，接收线圈的感应电压是各匝感应电压之和，线圈互感因此是各匝磁通之和除以 $I_1$。把式 (21) 代入式 (3)：

$$M_{\mathrm{w}}=\frac{1}{I_1}\sum _{j=1}^{N_2}{\Phi }_{21,j}=\sum _{i=1}^{N_1}\sum _{j=1}^{N_2}M(r_{1,i},r_{2,j};d_{\mathrm{g}},d_{\mathrm{s}})\text{\hspace{1em}(22)}$$

$M(r_1,r_2;d_{\mathrm{g}},d_{\mathrm{s}})$ 是半径 $r_1$、$r_2$ 的两个单匝圆环的互感，即式 (3)，分号前为两环半径，分号后为两环的相对位置。双重求和的每一项是一对单匝圆环的互感：发射线圈第 $i$ 匝作 $C_1$，接收线圈第 $j$ 匝围成的圆盘作 $S_2$，$d_{\mathrm{g}}$、$d_{\mathrm{s}}$ 对所有项相同。发射、接收各 3 匝时共 $3\times 3=9$ 项：发射第 1 匝与接收 3 匝各算一次互感，发射第 2、3 匝同样，再把 9 个互感相加。

只有 $B_z$ 计入。 各匝圆盘都在 $z=d_{\mathrm{g}}$ 平面内，$\hat{\mathbf{n}}=+\hat{\mathbf{z}}$，式 (4)–(6) 逐匝成立。发射线圈的 $B_{1z}$ 是式 (6) 对各匝求和：

$$B_{1z}(\rho ,z)=\frac{{\mu }_0{I}_1}{4\pi }\sum _{i=1}^{N_1}{\int }_0^{2\pi }\frac{r_{1,i}(r_{1,i}-\rho \cos \alpha )}{{\left(r_{1,i}^2+{\rho }^2+z^2-2r_{1,i}\rho \cos \alpha \right)}^{3/2}}\mathrm{d}\alpha \text{\hspace{1em}(23)}$$

图 7 | 发射线圈的磁场与零线。 同心圆匝细丝模型，10 匝，半径 75.5–174.5 mm，匝距 11 mm；导线截面按直径 5 mm 示意，其内部的场未画；长度以平均匝半径 ${\bar{r}}_1=125$ mm 为单位。颜色为 $B_{1z}/B_{1z}(0,0)$，分母为线圈圆心处的值（红 $+z$、蓝 $-z$，色标对数分段，只表相对大小与正负），视野与色标同图 3。a，侧视 $y=0$：细线为磁感线，相邻两条线之间通过的磁通相同（插图另取间距）；粗黑线为零线，金色虚线为半径 ${\bar{r}}_1$ 的单匝的零线，黑色虚线为接收平面 $z=d_{\mathrm{g}}=111$ mm。插图放大最外 4 匝附近（小框），× 为电流流入纸面，灰色虚线为 $z=3$ mm。b，从 $+z$ 俯视 $z=3$ mm 平面：黑圆为零线，铜色细圆为各匝位置；插图放大小框内一段，可见 5 个零线圆，铜色点线为各导线的径向范围 [15]。

线圈互感对应单匝的式 (7)，是 $B_{1z}$ 在接收线圈各匝圆盘上的积分之和：

$$M_{\mathrm{w}}=\frac{1}{I_1}\sum _{j=1}^{N_2}{\iint }_{S_{2,j}}{B}_{1z}(x,y,d_{\mathrm{g}})\mathrm{d}x\mathrm{d}y\text{\hspace{1em}(24)}$$

接收线圈只有一匝时，式 (24) 回到式 (7)。各匝的圆盘同心、一个比一个大，圆心附近的磁场穿过全部 $N_2$ 个圆盘，在式 (24) 中被计入 $N_2$ 次；靠近外缘的磁场只被最外面几匝计入。式 (8) 的正负分解逐匝成立。

零线。 发射线圈的场仍绕 $z$ 轴对称，零线仍是圆，由式 (23) 取零确定。只在贴近线圈平面、高度与匝距 $p$ 相当的地方，每根导线自身的场使 $B_{1z}$ 在相邻导线之间来回换号，零线有好几个圆（图 7a 插图、7b）。无线充电中 $d_{\mathrm{g}}$ 远大于匝距，接收平面上只有一个零线圆，§3 的结论直接适用；图 7 的线圈在 $d_{\mathrm{g}}=111$ mm 处零线半径 ${\rho }_0=220$ mm（$1.76{\bar{r}}_1$）。

调节匝距，可以改变线圈平面附近零线圆的个数、半径与延伸的高度；稀疏绕制的线圈能在指定位置造出 $B_z=0$ 的圆环，其用途尚待考虑。

推论 1。 与单匝相同：$M_{\mathrm{w}}=0$ 时，零线必然穿过接收线圈最外匝所围的圆盘。

接收线圈的匝数、半径与错位。 发射线圈同图 7，$d_{\mathrm{g}}=111$ mm，${\rho }_0=220$ mm：

• 同轴时接收线圈每一匝的磁通都为正，$M_{\mathrm{w}}$ 恒为正；内半径与匝距不变、在外侧每加一匝，$M_{\mathrm{w}}$ 都增大（图 8c 中 $d_{\mathrm{s}}=0$ 的曲线）。
• 接收线圈的半径并非越大越好：匝数一定时，存在使 $M_{\mathrm{w}}$ 最大的半径 $r_2$。单匝时最大值在 $r_2={\rho }_0$（式 (12)）（图 9b）。推导与算法见附录 F。
• 错位增大，$M_{\mathrm{w}}$ 减小并过零；接收线圈越大，过零错位越远：$N_2=5$、10、20、40 时分别为 248、270、328、476 mm（图 8a 粗黑线，图 8b 金点）。
• 错位较大、接收线圈圆心落在负区时，匝数少的接收线圈 $M_{\mathrm{w}}<0$，匝数增多后换号为正（图 8c 中 $d_{\mathrm{s}}/{\bar{r}}_1=2.4$、3.2 的曲线）。
• 半径与匝数分别变化时，$M_{\mathrm{w}}$ 平滑变化、不振荡。错位增大，$M_{\mathrm{w}}$ 整体减小，使 $M_{\mathrm{w}}$ 最大的 $r_2$ 外移（图 9a 中 $d_{\mathrm{s}}/{\bar{r}}_1=0.8$、1.6 层的金线）；大错位时半径中等的接收线圈先变负，半径很大的又回正（图 9a 上两层）。
• 小线圈的互感约正比于面积：单匝接收线圈 $r_2\ll d_{\mathrm{g}}$ 时，圆盘上的 $B_{1z}$ 近似等于轴线上的值，$M_{\mathrm{w}}\approx \pi r_2^2{B}_{1z}(0,d_{\mathrm{g}})/I_1$（图 9b 金色虚线）。

图 8 | $d_{\mathrm{g}}$ 固定时接收线圈的互感随横向错位与匝数的变化。 同心圆匝细丝模型；发射线圈同图 7，接收线圈内半径与匝距同发射线圈，第 $j$ 匝半径 $r_{2,j}=75.5+11(j-1)$ mm；$d_{\mathrm{g}}=111$ mm；长度以平均匝半径 ${\bar{r}}_1=125$ mm 为单位；$M_{\mathrm{ref}}$ 为 $N_2=10$（接收线圈与发射线圈相同）同轴时的 $M_{\mathrm{w}}$，6.69 μH。a，$M_{\mathrm{w}}(d_{\mathrm{s}},N_2)/M_{\mathrm{ref}}$ 曲面；粗黑线为 $M_{\mathrm{w}}=0$，细黑线为 $N_2=10$，金点为其过零位置。b，沿 $d_{\mathrm{s}}$ 的截线，$N_2=5$–40；金点为过零位置。c，沿 $N_2$ 的截线，曲线右端数字为 $d_{\mathrm{s}}/{\bar{r}}_1$；竖虚线为 $N_2=10$，金点为换号处（整数 $N_2$ 之间插值）[16]。

图 9 | 接收线圈的半径、匝数与横向错位对互感的影响。 同心圆匝细丝模型；发射线圈同图 7，$d_{\mathrm{g}}=111$ mm，${\rho }_0=220$ mm；接收线圈由最外匝半径 $r_2$ 与匝数 $N_2$ 确定，匝距 11 mm，$r_{2,j}=r_2-11(N_2-j)$ mm；两图横轴相同，长度以 ${\bar{r}}_1=125$ mm 为单位，$M_{\mathrm{ref}}=6.69$ μH 同图 8。a，五层水平切片为 $d_{\mathrm{s}}/{\bar{r}}_1=0$、0.8、1.6、2.4、3.2，颜色为 $M_{\mathrm{w}}/M_{\mathrm{ref}}$（红正蓝负，正负两段色标比例不同，只表正负与相对大小），排不下的组合留空；金线为匝数一定时使 $M_{\mathrm{w}}$ 最大的 $r_2$（只画最大值落在图内的部分），底层金点为 $N_2=1$、10、20 的最大值，与图 9b 的金点对应。b，同轴接收线圈 $N_2=1$、10、20 的 $M_{\mathrm{w}}$ 随 $r_2$ 的变化，纵轴对数；$N_2=10$、20 的颜色同图 8b。金色虚线为小线圈近似 $\pi r_2^2{B}_{1z}(0,d_{\mathrm{g}})/I_1$，竖点线为零线半径 ${\rho }_0$，金点为各曲线的最大值 [17]。

结构式。 式 (22) 的每一项按式 (18) 写出，求和移入积分：

$$M_{\mathrm{w}}={\mu }_0\pi {\int }_0^{\infty }{F}_1(\kappa )F_2(\kappa )J_0(\kappa d_{\mathrm{s}})e^{-\kappa d_{\mathrm{g}}}\mathrm{d}\kappa \text{\hspace{1em}(25)}$$ $$F_1(\kappa )=\sum _{i=1}^{N_1}{r}_{1,i}{J}_1(\kappa r_{1,i}),F_2(\kappa )=\sum _{j=1}^{N_2}{r}_{2,j}{J}_1(\kappa r_{2,j})$$

与式 (18) 相比，横向因子 $J_0(\kappa d_{\mathrm{s}})$ 与轴向因子 $e^{-\kappa d_{\mathrm{g}}}$ 不变，§4 中两者的解释照样成立；只有尺寸因子由 $r_1{J}_1(\kappa r_1)\cdot r_2{J}_1(\kappa r_2)$ 换成各匝之和 $F_1{F}_2$，它决定哪一段 $\kappa$ 贡献最大。

有限元中的均匀化圆环带。 有限元模型常不逐匝建导线，而把整个线圈建成一个矩形截面的圆环带，总电流 $NI$ 均匀分布在截面上（图 6c）。Maxwell 的 Stranded 导体即按此处理：截面上电流密度均匀，不计涡流 [18]。对应的解析计算是把式 (22) 的双重求和换成两截面上的平均：

$$\frac{M_{\mathrm{band}}}{N_1{N}_2}=\frac{1}{A_1{A}_2}{\iint }_{A_1}{\iint }_{A_2}M\left(r,r^{\prime };d_{\mathrm{g}}+z^{\prime }-z,d_{\mathrm{s}}\right)\mathrm{d}r\mathrm{d}z\mathrm{d}{r}^{\prime }\mathrm{d}{z}^{\prime }\text{\hspace{1em}(26)}$$

$A_1$、$A_2$ 为两个圆环带在 $y=0$ 平面上 $+x$ 侧的矩形截面（图 6c 下排），$r\in [r_{\mathrm{in}},r_{\mathrm{out}}]$，$z$、$z^{\prime }$ 为截面上的点相对各自中面的轴向坐标，在 $[-t/2,t/2]$ 内，截面面积 $(r_{\mathrm{out}}-r_{\mathrm{in}})t$；截面上每一小块 $\mathrm{d}r\mathrm{d}z$ 绕 $z$ 轴转一圈是一个细丝圆环，载总电流的 $\mathrm{d}r\mathrm{d}z/A$。这样做的依据是叠加：把每匝导线的电流在截面上抹匀，相当于把线圈换成匝数无穷多、每匝电流无穷小、总电流不变的同心圆匝。

两种模型的差别可以估计。远场时互感只取决于各匝面积之和（磁矩），$N$ 个等距细丝的 $⟨r^2⟩$ 比连续圆环带小 $p^2/12$；本例线圈每个相差 0.06 %，两个线圈合计 0.12 %。附录 D 按有限元模型的几何（厚 5 mm）用高斯积分直接计算式 (26)，相对差取同心圆匝减圆环带、除以圆环带：同轴时为 +0.03 %、−0.02 %、−0.05 %（中面间距 105、205、305 mm），$d_{\mathrm{g}}$ 再增大趋近 −0.12 %（1005 mm 时 −0.11 %）；错位后 $M$ 变小，相对差在 −0.31 % 至 +0.35 % 之间，绝对值最大的两项都在 $M$ 接近零处。这是两个解析模型之间的比较，与有限元的对照在 §6。

适用条件：（1）匝距与厚度远小于线圈半径与 $d_{\mathrm{g}}$；（2）只适用于两线圈之间的互感，不适用于线圈自身的自感：均匀化圆环带不含导线半径，算出的自感与逐匝导线线圈的自感不同（见 planar-coil-self-inductance）。

符号	含义	单位
$N_1$、$N_2$	发射线圈、接收线圈的匝数	1
$r_{1,i}$、$r_{2,j}$	发射线圈第 $i$ 匝、接收线圈第 $j$ 匝的半径（自内向外编号）	m
$r_2$	接收线圈半径；多匝时为最外匝半径 $r_{2,N_2}$	m
${\bar{r}}_1$	发射线圈的平均匝半径，图中长度的单位	m
$p$	匝距	m
$r_{\mathrm{w}}$	导线半径	m
$t$	线圈厚度	m
$C_{1,i}$	发射线圈第 $i$ 匝的导线路径	—
$S_{2,j}$、${\Phi }_{21,j}$	接收线圈第 $j$ 匝围成的圆盘、穿过它的磁通	m²、Wb
$M(r_1,r_2;d_{\mathrm{g}},d_{\mathrm{s}})$	半径 $r_1$、$r_2$ 的两单匝圆环的互感（式 (3)）	H
$M_{\mathrm{w}}$	发射线圈与接收线圈之间的互感	H
$M_{\mathrm{ref}}$	图 8、图 9 的归一化互感：$N_2=10$ 同轴时的 $M_{\mathrm{w}}$	H
$F_1(\kappa )$、$F_2(\kappa )$	发射线圈、接收线圈的尺寸因子	m
$r_{\mathrm{in}}$、$r_{\mathrm{out}}$	均匀化圆环带的内、外半径	m
$A_1$、$A_2$	均匀化圆环带的截面	m²
$z$、$z^{\prime }$	截面上的点相对各自中面的轴向坐标	m
$M_{\mathrm{band}}$	两均匀化圆环带之间的互感	H

6. 适用边界

• 准静态。 式 (1) 按电流瞬时值计算磁场，忽略位移电流与辐射，要求线圈尺寸与间距远小于波长。6.78 MHz 时波长 $c/f=44.2$ m，本卡线圈直径约 0.35 m，比值约 0.008。
• 线性介质，空气。 全卡取 $\mu ={\mu }_0$，场可叠加（§5）。附近有铁氧体或金属屏蔽板时，铁氧体集中并改道磁通，金属板中的涡流产生反向场，两者都改变 $B_{1z}$ 的分布、零线位置与过零错位，本卡的数值不能直接移用。例如带铁氧体与铝屏蔽板的一对无线充电线圈，气隙 200 mm 时过零错位约 236 mm [19]。
• 两线圈平行、只有横向错位。 §2 只有 $B_z$ 计入磁通，前提是接收线圈法向为 $+\hat{\mathbf{z}}$；接收线圈倾斜时，$B_{\rho }$ 也计入，需另行讨论。
• 同心圆匝近似。 平面螺旋按同心圆匝计算（图 6b），要求匝距远小于线圈半径与 $d_{\mathrm{g}}$；引线与匝间跨接未计入。
• 细导线近似。 每匝按导线中心线上的细丝计算，要求导线半径远小于线圈半径与 $d_{\mathrm{g}}$，且导线截面内电流绕导线轴线对称分布；高频下邻近效应使电流偏向导线一侧（proximity-effect），这一条不再严格成立。线圈自身的自感不能用细丝模型计算，见 planar-coil-self-inductance。

参考

1. “Biot–Savart law,” Wikipedia, “Electric currents (along a closed curve/wire)”.
2. “Inductance,” Wikipedia, “Derivation”、“Derivation of mutual inductance”、“Mutual inductance and magnetic field energy”、“Coupling coefficient”、“Self-inductance of thin wire shapes”.
3. fig-geometry.py，本卡出图脚本。
4. anim-field-vs-phase.py，本卡出图脚本。
5. fig-field-zero-line.py，本卡出图脚本。
6. fig-corollaries.py，本卡出图脚本。
7. J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd ed. New York, NY, USA: Wiley, 1999, §3.7 式 (3.71)–(3.77)、§5.9 式 (5.93)–(5.94)、习题 5.10.
8. F. W. J. Olver et al., Eds., NIST Digital Library of Mathematical Functions, ch. 10, “Bessel Functions”, 式 (10.2.1)、(10.7.3)、(10.22.1)、(10.22.49)、(10.22.66)、(10.23.7)、§10.22(v).
9. fig-kappa-ripples.py，本卡出图脚本。
10. J. C. Simpson, J. E. Lane, C. D. Immer, R. C. Youngquist, “Simple Analytic Expressions for the Magnetic Field of a Circular Current Loop,” NASA Technical Report 20010038494, 2001, 式 (25)、(30).
11. loopfield.py，本卡计算模块（场、零线、互感、多匝线圈与自检）。
12. fig-winding-models.py，本卡出图脚本。
13. fig-element-field-3d.py，本卡出图脚本（俯视部分的绘制函数在 numgeo.py）。
14. anim-numerator-alpha.py，本卡出图脚本。
15. fig-winding-field-zero-line.py，本卡出图脚本。
16. fig-winding-m-vs-ds-n2.py，本卡出图脚本。
17. fig-receiver-size.py，本卡出图脚本。
18. Ansys, Maxwell Help, Release 2026 R1, “Stranded Conductors”.
19. 02-wpt-gap-slide-sweep，本仓算例报告，表 4.

关联

• 相关概念：bessel-function · planar-coil-self-inductance · coupling-coefficient
• 仿真操作：wpt-modeling

附录 A：$B_{1z}$ 的标量积分形式与闭式

由式 (1) 到式 (6)。 取发射线圈位于 $z=0$、圆心在原点，场点 $\mathbf{r}=(\rho ,0,z)$（绕 $z$ 轴对称，不失一般性）。导线上

$${\mathbf{r}}^{\prime }=r_1(\cos \alpha ,\sin \alpha ,0),\mathrm{d}{\mathbf{\ell }}^{\prime }=r_1(-\sin \alpha ,\cos \alpha ,0)\mathrm{d}\alpha \text{\hspace{1em}(A1)}$$

叉乘的 $z$ 分量只含 $x$、$y$ 两个分量：

$$[\mathrm{d}{\mathbf{\ell }}^{\prime }\times (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }){]}_z=r_1[-\sin \alpha (0-r_1\sin \alpha )-\cos \alpha (\rho -r_1\cos \alpha )]\mathrm{d}\alpha =r_1(r_1-\rho \cos \alpha )\mathrm{d}\alpha \text{\hspace{1em}(A2)}$$ $$|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^2=r_1^2+{\rho }^2+z^2-2r_1\rho \cos \alpha \text{\hspace{1em}(A3)}$$

代入式 (1) 即得式 (6)。

闭式。 式 (6) 的积分可用完全椭圆积分表示 [10]：

$$B_{1z}(\rho ,z)=\frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi D_{-}^2{D}_{+}}\left[\right(r_1^2-{\rho }^2-z^2)E(m)+D_{-}^{2}K(m)]\text{\hspace{1em}(A4)}$$ $$D_{-}^2=r_1^2+{\rho }^2+z^2-2r_1\rho ,D_{+}^2=r_1^2+{\rho }^2+z^2+2r_1\rho ,m=1-D_{-}^2/D_{+}^2\text{\hspace{1em}(A5)}$$

$D_{-}$、$D_{+}$ 为场点到发射线圈导线最近点与最远点的距离；$K(m)$、$E(m)$ 为第一、第二类完全椭圆积分，以参数 $m=k^2$（$k$ 为模数）为自变量，$K>0$、$E>0$。零线上方括号为零，要求 $r_1^2-{\rho }_0^2-d_{\mathrm{g}}^2<0$，即零线在球面 ${\rho }^2+z^2=r_1^2$ 之外；这一界限弱于 §3 的圆柱面界限 ${\rho }_0>r_1$。

式 (A4) 与式 (1) 沿发射线圈的数值积分在 $d_{\mathrm{g}}=200$ mm 平面上逐点相对差小于 $10^{-15}$ [11]。

附录 B：零线的双曲线界

近区（$d_{\mathrm{g}}\ll r_1$）。 离导线很近时，发射线圈的场近似为直导线的环形场，磁感线是以导线为圆心的圆，切线水平的点在导线正上方：${\rho }_0\to r_1$，$C\to 1$。

远区（$d_{\mathrm{g}}\gg r_1$）。 在 $r>r_1$ 的区域把磁标势按勒让德多项式展开，只含奇数阶：

$${\Phi }_{\mathrm{m}}=\sum _{l=1,3,\dots }{A}_l\frac{r_1^{l+1}}{r^{l+1}}{P}_l(\cos \beta )\text{\hspace{1em}(B1)}$$

在轴上与 $B_z(0,z)=\frac{{\mu }_0{I}_1{r}_1^2}{2(r_1^2+z^2{)}^{3/2}}$ [10] 逐阶匹配，得 $A_3/A_1=-3/4$。由 ${\partial }_z\left[r^{-(l+1)}{P}_l(\cos \beta )\right]=-(l+1)r^{-(l+2)}{P}_{l+1}(\cos \beta )$，

$$B_z\propto \frac{P_2(\cos \beta )}{r^3}+2\frac{A_3}{A_1}\frac{r_1^2}{r^2}\frac{P_4(\cos \beta )}{r^3}+\cdots \text{\hspace{1em}(B2)}$$

令 $B_z=0$：首阶给 $P_2=0$，${\cos }^2{\beta }_0=1/3$，即 $\rho =\sqrt{2}z$；次阶修正

$$\delta (\cos \beta )=-\frac{7\sqrt{3}}{36}\frac{r_1^2}{r^2}\text{\hspace{1em}(B3)}$$

代入 ${\rho }^2-2z^2=r^2(1-3{\cos }^2\beta )$ 并保留一阶：

$${\rho }_0^2-2z^2\to \frac{7}{6}{r}_1^2\text{\hspace{1em}(B4)}$$

中间区（数值观察）。 按式 (A4) 数值求根，所算各点上 $C=({\rho }_0^2-2d_{\mathrm{g}}^2)/r_1^2$ 随 $d_{\mathrm{g}}$ 由 1 单调增大到 $7/6$；这一单调性与取值范围未经解析证明：

$d_{\mathrm{g}}/r_1$	0.1	0.4	0.8	1.6	3.2	12.8
$C$	1.015	1.076	1.122	1.151	1.162	1.166

在所算范围内取 $C=1$ 时，${\rho }_0$ 的最大相对误差为 −2.9 %（$d_{\mathrm{g}}/r_1\approx 0.53$）[11]。

附录 C：结构式的推导

权重 $w(\kappa )$。 式 (15) 在轴上（$\rho =0$，$J_0(0)=1$）化为

$$B_{1z}(0,z)={\int }_0^{\infty }w(\kappa )e^{-\kappa z}\mathrm{d}\kappa \text{\hspace{1em}(C1)}$$

即轴上磁场是 $w(\kappa )$ 的拉普拉斯变换；拉普拉斯变换一一对应，轴上磁场唯一确定 $w$。轴上磁场已知 [10]：

$$B_{1z}(0,z)=\frac{{\mu }_0{I}_1{r}_1^2}{2{\left(r_1^2+z^2\right)}^{3/2}}\text{\hspace{1em}(C2)}$$

由 [8] 的式 (10.22.49)（取 $\mu =2$、$\nu =1$）：

$${\int }_0^{\infty }\kappa J_1(\kappa r_1)e^{-\kappa z}\mathrm{d}\kappa =\frac{r_1}{{\left(r_1^2+z^2\right)}^{3/2}}\text{\hspace{1em}(C3)}$$

比较式 (C1)–(C3) 得式 (16)。

涟漪在偏心圆盘上的积分。 以 $S_2$ 圆心为原点取极坐标 $(s,\gamma )$，$\gamma$ 的起算方向取为使 ${\rho }^2=d_{\mathrm{s}}^2+s^2-2d_{\mathrm{s}}s\cos \gamma$。由格拉夫加法定理（Graf’s addition theorem）[8]：

$$J_0(\kappa \rho )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{J}_n(\kappa d_{\mathrm{s}})J_n(\kappa s)\cos n\gamma \text{\hspace{1em}(C4)}$$

对 $\gamma$ 从 0 到 $2\pi$ 积分，$n\ne 0$ 的项全部为零：

$${\int }_0^{2\pi }{J}_0(\kappa \rho )\mathrm{d}\gamma =2\pi J_0(\kappa d_{\mathrm{s}})J_0(\kappa s)\text{\hspace{1em}(C5)}$$

再对 $s$ 从 0 到 $r_2$ 积分，${\int }_0^{r_2}{J}_0(\kappa s)s\mathrm{d}s=r_2{J}_1(\kappa r_2)/\kappa$ [8]，得式 (17)。

结构式。 式 (15)、(16)、(17) 代入式 (5)，除以 $I_1$：

$$M=\frac{1}{I_1}{\int }_0^{\infty }w(\kappa )e^{-\kappa d_{\mathrm{g}}}\frac{2\pi r_2}{\kappa }{J}_1(\kappa r_2)J_0(\kappa d_{\mathrm{s}})\mathrm{d}\kappa ={\mu }_0\pi r_1{r}_2{\int }_0^{\infty }{J}_1(\kappa r_1)J_1(\kappa r_2)J_0(\kappa d_{\mathrm{s}})e^{-\kappa d_{\mathrm{g}}}\mathrm{d}\kappa \text{\hspace{1em}(C6)}$$

同轴闭式。 $d_{\mathrm{s}}=0$ 时由 [8] 的式 (10.22.66)（取 $\nu =1$）：

$${\int }_0^{\infty }{e}^{-a\kappa }{J}_1(b\kappa )J_1(c\kappa )\mathrm{d}\kappa =\frac{1}{\pi \sqrt{bc}}{Q}_{1/2}\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{2bc}\right)\text{\hspace{1em}(C7)}$$

取 $a=d_{\mathrm{g}}$、$b=r_1$、$c=r_2$ 代入式 (C6) 得式 (19)。

远场。 $J_1(\kappa r)\approx \kappa r/2$ [8]，式 (C6) 化为 $\frac{{\mu }_0\pi r_1^2{r}_2^2}{4}{\int }_0^{\infty }{\kappa }^2{J}_0(\kappa d_{\mathrm{s}})e^{-\kappa d_{\mathrm{g}}}\mathrm{d}\kappa$。由 [8] 的式 (10.22.49)（取 $\mu =1$、$\nu =0$），${\int }_0^{\infty }{J}_0(\kappa d_{\mathrm{s}})e^{-\kappa d_{\mathrm{g}}}\mathrm{d}\kappa =(d_{\mathrm{g}}^2+d_{\mathrm{s}}^2{)}^{-1/2}$，对 $d_{\mathrm{g}}$ 求两次导数：

$${\int }_0^{\infty }{\kappa }^2{J}_0(\kappa d_{\mathrm{s}})e^{-\kappa d_{\mathrm{g}}}\mathrm{d}\kappa =\frac{2d_{\mathrm{g}}^2-d_{\mathrm{s}}^2}{{\left(d_{\mathrm{g}}^2+d_{\mathrm{s}}^2\right)}^{5/2}}\text{\hspace{1em}(C8)}$$

得式 (20)。

数值核对。 $r_1=r_2=125$ mm、$d_{\mathrm{g}}=200$ mm 时 [11]：

$d_{\mathrm{s}}$ / mm	式 (18) / nH	接收线圈上的磁矢势环量 / nH	式 (5) 的数值面积分 / nH
0	27.9614	27.9614	27.9616
150	14.5048	14.5048	14.5048
342	−0.0031	−0.0031	−0.0031
500	−0.8489	−0.8489	−0.8489

同轴时式 (19) 给出 27.9614 nH，与式 (18) 一致。式 (20) 在 $d_{\mathrm{s}}=0$ 处给出 60.2 nH，为精确值的 2.2 倍：本例 $d_{\mathrm{g}}/r_1=1.6$，远场条件不满足。

附录 D：同心圆匝与均匀化圆环带的互感对照

几何取 §6 有限元模型的均匀化圆环带：径向 70–180 mm、轴向厚 5 mm、$N=10$。同心圆匝取等距 10 匝（半径 75.5–174.5 mm，位于中面）；均匀化圆环带按式 (26) 对截面作高斯积分平均（径向 12 点、轴向 4 点；加密到 24 × 6 点，结果变化小于 0.0001 %）。表中 Gap 为两线圈相对表面的距离（有限元的扫描变量），代入式 (22)、(26) 时取中面间距 $d_{\mathrm{g}}=\mathrm{Gap}+5$ mm。表中为单匝等效互感（同心圆匝为 $M_{\mathrm{w}}/N^2$，圆环带为 $M_{\mathrm{band}}/N^2$），相对差为同心圆匝减圆环带、除以圆环带 [11]：

Gap / mm	$d_{\mathrm{g}}$ / mm	$d_{\mathrm{s}}$ / mm	同心圆匝 / nH	均匀化圆环带 / nH	相对差
100	105	0	71.445	71.420	+0.03 %
100	105	200	12.792	12.820	−0.22 %
100	105	300	−2.818	−2.808	+0.35 %
200	205	0	26.376	26.381	−0.02 %
200	205	200	9.469	9.480	−0.12 %
200	205	300	2.009	2.015	−0.31 %
300	305	0	11.743	11.749	−0.05 %
300	305	200	5.983	5.989	−0.10 %
300	305	300	2.550	2.554	−0.15 %

同轴时 $d_{\mathrm{g}}$ 继续增大，相对差为 −0.09 %（505 mm）、−0.11 %（1005 mm）、−0.12 %（2005 mm），趋近 §5 由 $p^2/12$ 得到的远场估计 −0.12 %。

附录 E：式 (6) 被积函数的几何意义

记号。 场点 $\mathbf{r}$ 的水平投影记为 P，取在 $+x$ 轴上，$\mathrm{OP}=\rho$。发射线圈导线上方位角为 $\alpha$ 的点记为 Q，$\hat{\mathbf{u}}=(\cos \alpha ,\sin \alpha ,0)$ 为 OQ 方向，$\hat{\mathbf{t}}=(-\sin \alpha ,\cos \alpha ,0)$ 为 Q 点切向（电流方向）。F 为 P 在直线 OQ 上的垂足，则

$$\mathrm{OF}=\rho \cos \alpha ,\mathrm{FQ}=r_1-\rho \cos \alpha \text{\hspace{1em}(E1)}$$

FQ 即式 (6) 的分子，以 F 在 Q 的圆心一侧为正。Q 点切线垂直于 OQ，FQ 也等于 P 到这条切线的有符号距离。

正负。 Q 处导线小段 $\mathrm{d}{\mathbf{\ell }}^{\prime }$ 在垂直于它的竖直截面（过 O、F、Q）内产生绕导线的环形磁感线：截面内靠圆心一侧向上，外侧向下（图 E1）。把场点 R 沿 $\hat{\mathbf{t}}$ 投影到该截面，得到 F 正上方、高 $z$ 的点 R′；沿导线方向的平移不改变这一小段贡献的 $z$ 分量。于是 FQ > 0（R′ 在靠圆心一侧）时贡献为正，FQ < 0 时为负。

大小。 由式 (1)，这一小段的贡献为 $\mathrm{d}\mathbf{B}\propto \mathrm{d}{\mathbf{\ell }}^{\prime }\times (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime })/D^3$，$D=|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|$。在截面内，Q、F、R′ 构成以 F 为直角的三角形，两直角边为 FQ 与 $z$，斜边 QR′ 是场点到导线所在直线的距离；$\mathrm{d}\mathbf{B}$ 垂直于 QR′，其竖直分量占比为 FQ/QR′：

$$|\mathrm{d}\mathbf{B}|\propto \frac{\mathrm{d}\ell \cdot {\mathrm{QR}}^{\prime }}{D^3},\mathrm{d}{B}_z=|\mathrm{d}\mathbf{B}|\frac{\mathrm{FQ}}{{\mathrm{QR}}^{\prime }}\propto \frac{\mathrm{d}\ell \cdot \mathrm{FQ}}{D^3}\text{\hspace{1em}(E2)}$$

取 $\mathrm{d}\ell =r_1\mathrm{d}\alpha$，式 (E2) 即式 (6) 的被积函数：FQ 决定磁场有多大比例朝竖直方向，$D^3$ 决定这一小段的贡献随距离的衰减。场点恰在导线正上方（F 与 Q 重合）时，磁场水平，$\mathrm{d}{B}_z=0$。

图 E1 | 导线小段的磁场与式 (6) 的分子。 $\rho =1.6r_1$、场点高度 $1.6r_1$（示意；长度以 $r_1$ 为单位）。a、b，2.5D 视角：$\alpha =65°$（FQ > 0）与 $\alpha =25°$（FQ < 0）处导线小段的环形磁感线（只画线圈平面上方的半圈）、场点 R 及其在截面上的投影 R′、R 处 $\mathrm{d}\mathbf{B}$ 与其 $z$ 分量（放大 3 倍）。c、d，同一位置的俯视图：紫线为 OF，绿色粗线为 FQ，绿色虚线为 P 到切线的距离；切线靠圆心一侧着红色，外侧着蓝色 [13]。

图 E2 | 方位角 $\alpha$ 转一周时 Q、切线与 FQ 的变化。 P 固定（示意，一周 10 s）[14]。

加权求和。 $B_{1z}$ 是各小段贡献的积分，不能只看 FQ 的正负面积：${\int }_0^{2\pi }\mathrm{FQ}\mathrm{d}\alpha =2\pi r_1>0$ 对任何 $\rho$ 都成立。靠近 P 的弧段 FQ < 0 而 $D$ 小、权重大，远离 P 的弧段 FQ > 0 而权重小；两者按 $1/D^3$ 加权后相抵处即零线（式 (9)）。

附录 F：匝数一定时使互感最大的接收线圈半径

接收线圈 $N_2$ 匝、匝距 $p$，与发射线圈同轴，最外匝半径 $r_2$，第 $j$ 匝半径 $r_{2,j}=r_2-(N_2-j)p$。由式 (24)，$M_{\mathrm{w}}$ 是各匝同轴圆盘的磁通之和除以 $I_1$。保持 $N_2$ 与 $p$ 不变、$r_2$ 增大 $\mathrm{d}{r}_2$ 时，各匝半径同时增大 $\mathrm{d}{r}_2$，每匝磁通的增量按式 (12) 计算，故

$$\frac{\mathrm{d}{M}_{\mathrm{w}}}{\mathrm{d}{r}_2}=\frac{2\pi }{I_1}\sum _{j=1}^{N_2}{r}_{2,j}{B}_{1z}(r_{2,j},d_{\mathrm{g}})\text{\hspace{1em}(F1)}$$

$N_2=1$ 时 (F1) 为零即 $B_{1z}(r_2,d_{\mathrm{g}})=0$，$r_2={\rho }_0$，回到 §3 推论 2。$N_2>1$ 时 (F1) 为零要求 $B_{1z}$ 在各匝处有正有负，即零线落在最内匝与最外匝之间；零线外侧的负场比内侧的正场弱，需要更多匝才能抵消，所以最大值处匝区在零线外侧的部分比内侧宽。

算法。 $M_{\mathrm{w}}(r_2)$ 按式 (22) 逐匝求和，单匝互感由磁矢势的椭圆积分闭式沿接收环积分得到 [11]；对 $r_2$ 作有界一维极值搜索（SciPy minimize_scalar，bounded 法，容差 10 μm）。另以 (F1) 的根作核对，$B_{1z}$ 用附录 A 的椭圆积分闭式，两种算法给出的 $r_2$ 相差小于 0.01 mm。发射线圈同图 7，$d_{\mathrm{g}}=111$ mm，${\rho }_0=219.8$ mm [17]：

$N_2$	最外匝 $r_2$ / mm	最内匝 $r_{2,1}$ / mm	$r_2-{\rho }_0$ / mm	$M_{\mathrm{w},\max }/M_{\mathrm{ref}}$
1	219.8	219.8	0	0.152
10	278.4	179.4	+58.6	1.487
20	358.0	149.0	+138.2	2.809

图 9a 的金线是同一算法在 2.75 mm 格点上的结果（三点抛物线插值）：$d_{\mathrm{s}}/{\bar{r}}_1=0.8$ 时 $N_2=1$、10 的最大值分别外移到 269、325 mm，1.6 时 $N_2=1$ 外移到 363 mm。