parallel LC resonance

概念

并联 LC 谐振回路 = 电感 L 与电容 C 并联。核心特性:谐振频率处阻抗最大、偏离则骤降,故串入信号通路时对该频率构成带阻/陷波(notch)。

并联 LC 带阻电路示意(图:Spinningspark / Wikimedia Commons,CC BY-SA 3.0)。

谐振频率:

$f_{res}=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$

阻抗随频率($\omega =2\pi f$)。两支路并联,由感抗支路 $Z_L=j\omega L$ 与容抗支路 $Z_C=\frac{1}{j\omega C}$ 按”积除以和”合成——未化简的原始形式(感抗与容抗在分母相加):

$Z=\frac{Z_L{Z}_C}{Z_L+Z_C}=\frac{(j\omega L)\cdot \frac{1}{j\omega C}}{j\omega L+\frac{1}{j\omega C}}$

化简得:

$Z=\frac{j\omega L}{1-{\omega }^{2}LC}$

在 $f_{res}$ 处 ${\omega }^{2}LC=1$、分母 → 0、$Z\to \infty$(实际受回路损耗电阻限制为有限峰值)。低频端电感近似短路、高频端电容近似短路,故阻抗-频率曲线呈单峰、峰在 $f_{res}$。

符号:$f_{res}$ 谐振频率(Hz)· $L$ 电感(H)· $C$ 电容(F)· $\omega$ 角频率(rad/s)。

品质因数 Q 与动态电阻 R_d(有损回路)

实际回路总有损耗。把损耗集总为一个小电阻 $r$,串入其中一条支路(教科书常置于电感支路;高 Q 下置于哪条支路等价,结果差 $O(1/Q^2)$)。

品质因数(元件定义):

$Q=\frac{X}{r},X\equiv {\omega }_{0}L=\frac{1}{{\omega }_{0}C}$

$X$ 为谐振点单支路电抗。Q 的能量定义($2\pi \times$储能/每周期耗散)在高 Q 下与此等价。

动态电阻:并联谐振(总导纳虚部为零)时,两支路的无功导纳精确抵消,只剩损耗贡献的实导纳,回路对外呈纯实、有限大的阻抗:

$R_d=\frac{X^2}{r}=\frac{L}{rC}=QX=Q^{2}r$

这是上节”理想 $Z\to \infty$“的修正:实际峰值阻抗由损耗决定,$r\to 0$ 时 $R_d\to \infty$。

推导要点(以 $L\parallel (r+C)$ 为例):两支路导纳 $Y_L=-\frac{j}{\omega L}$,$Y_C=\frac{r+\frac{j}{\omega C}}{r^2+\frac{1}{{\omega }^2{C}^2}}$(有理化)。令 $\mathrm{Im}(Y_L+Y_C)=0$,高 Q 近似($r\ll X$)下 ${\omega }_0^2\approx 1/LC$;残余总导纳 $\approx r{\omega }_0^2{C}^2=\frac{rC}{L}$,取倒数即 $R_d$。

符号:$r$ 集总损耗电阻(Ω)· $X$ 谐振点支路电抗(Ω)· $Q$ 品质因数(无量纲)· $R_d$ 动态电阻(Ω)· ${\omega }_0$ 谐振角频率(rad/s)。

电流放大:支路环流是主路电流的 Q 倍

设主路(线)电流 $I_{line}$ 流过回路,回路两端电压 $V_t$ 为两支路共享(并联),KCL 给 ${\vec{I}}_L+{\vec{I}}_C={\vec{I}}_{line}$。

谐振时 $V_t=I_{line}{R}_d$(上节),而每条支路电流由各自电抗决定:

$|I_L|=\frac{V_t}{X}=I_{line}\cdot \frac{R_d}{X}=Q{I}_{line},|I_C|\approx \frac{V_t}{X}=Q{I}_{line}$

$\boxed{\frac{|I_{branch}|}{|I_{line}|}=\frac{R_d}{X}=Q}$

两支路电流近乎等幅反相($I_L$ 滞后 $V_t$ 90°,$I_C$ 超前约 90°),矢量和抵消到只剩小净流——“从外看高阻拒流,从内看 Q 倍环流”并存。物理图像:能量在 L 与 C 之间来回振荡(磁场 ↔ 电场),主路每周期只需补足 $r$ 耗散的部分。

与串联谐振对偶:串联谐振电压放大 Q 倍(voltage magnification),并联谐振支路电流放大 Q 倍(current magnification)。

工程含义:并联回路串入通路作陷波时,即使净电流被有效阻断,回路内部元件仍承受 Q 倍环流,且回路两端电压接近源电压——元件的额定电流与耐压须按环流和 $V_t$ 选型,不能按主路净流选。

参考

• LC circuit – Wikipedia:LC 回路谐振频率与并联/串联谐振特性的标准来源。
• RLC circuit – Wikipedia:有损并联回路(r 串于一支路)的谐振条件与动态电阻 $L/(rC)$。
• Q factor – Wikipedia:品质因数的元件定义与能量定义。
• File:RLC parallel band-stop.svg – Wikimedia Commons:上方并联 LC 带阻电路示意图来源(Spinningspark,CC BY-SA 3.0)。

关联

• 相关概念:larmor-frequency
• hazard:rf-heating · solution:filtering