3 dB (half-power) bandwidth

概念

对一个有单峰幅频响应的系统，把响应幅值跌到峰值 $1/\sqrt{2}$ 的两个频率 $f_1<f_2$ 称为半功率点，其间隔

$$\Delta f=f_2-f_1$$

即 3 dB 带宽。名字来自功率比:幅值降到 $1/\sqrt{2}$ 时功率降到一半，$10{\log }_{10}(1/2)=-3.0103\mathrm{dB}$，工程上取整称”3 dB”。此处的 3 dB 是相对峰值的相对量，不是绝对电平。

响应量是电压、电流还是阻抗，判据都是”幅值 $\times 1/\sqrt{2}$“;只有当响应量本身是功率时才用 $1/2$。

基准取幅值峰，这一点在低 Q 下必须较真——下文会看到，有损谐振电路里有不止一个可以被称作”谐振点”的频率，取错基准会得到完全不同的带宽。

与品质因数的关系

对二阶单谐振系统，峰频与带宽之比给出品质因数:

$$Q=\frac{f_{pk}}{\Delta f}$$

这是 Q 的带宽定义。它与元件定义 $Q=X/r$、能量定义（$2\pi \times$储能/每周期耗散）在高 Q 下一致，低 Q 下三者分离。根源在于带宽定义隐含”响应曲线在峰附近可用洛伦兹线型近似”，该近似误差为 $O(1/Q^2)$。

因此 $Q=f/\Delta f$ 应理解为高 Q 极限下的等式。低 Q 时仍可定义 $Q_{BW}\equiv f_{pk}/\Delta f$ 作为曲线形状的度量，但它不再等于任何一条支路的元件 Q。

高 Q 情形。红点($R_d$,零电抗点)正压在白点(幅值峰)上——两者尚未分开;淡蓝点为两个半功率点。以下各图均由本卡的 $|Z(\omega )|$ 式直接绘出,元件值标在图题。

例:并联 LC，两条支路各带串联电阻

这是有损陷波器最常用的模型。电感支路带绕组与趋肤损耗 $r_L$，电容支路带等效串联电阻 $r_C$（见 equivalent-series-resistance）。

A–B 两端之间，左支路为 $L$ 与 $r_L$ 串联，右支路为 $C$ 与 $r_C$ 串联，两支路并联。可运行的 LTspice 原理图 使用下文 64 MHz 数值例；测试源与参考地仅为仿真夹具，不属于 AIMD 拓扑。

阻抗幅值

$$Z_L=r_L+j\omega L,Z_C=r_C-\frac{j}{\omega C}$$

两者并联，端口阻抗按”积除以和”:

$$\begin{array}{rl}Z(\omega )& =\frac{Z_L{Z}_C}{Z_L+Z_C}\\ & =\frac{(r_L+j\omega L)\left(r_C-\frac{j}{\omega C}\right)}{(r_L+r_C)+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}\end{array}$$

取模——分子是两支路阻抗模之积，分母是二者串联和之模:

$$|Z(\omega )|=\frac{\sqrt{\left(r_L^2+{\omega }^2{L}^2\right)\left(r_C^2+\frac{1}{{\omega }^2{C}^2}\right)}}{\sqrt{(r_L+r_C{)}^2+{\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}^2}}$$

后面三条边界全部由这一个式子读出。 两个立即可见的推论:

$$|Z|{|}_{\omega \to 0}=r_L,|Z|{|}_{\omega \to \infty }=r_C$$

低频下容抗趋于无穷、电容支路开路，电流全走电感支路，只见 $r_L$;高频反之。曲线两端不趋零，而是落在两个由各自支路电阻决定的非零基座上。

两个”谐振点”必须分开

零电抗点 ${\omega }_r$——总导纳虚部为零、端口阻抗为纯实的频率。由

$$\mathrm{Im}Y=-\frac{\omega L}{r_L^2+{\omega }^2{L}^2}+\frac{\frac{1}{\omega C}}{r_C^2+\frac{1}{{\omega }^2{C}^2}}=0$$

解得（记特征阻抗 $X_0=\sqrt{L/C}$、无损谐振角频率 ${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$）:

$${\omega }_r={\omega }_0\sqrt{\frac{X_0^2-r_L^2}{X_0^2-r_C^2}}$$

此处阻抗为纯实，称动态电阻:

$$R_d=Z({\omega }_r)=\frac{X_0^2+r_L{r}_C}{r_L+r_C}$$

化简的关键是两支路电抗之积 $\omega L\cdot \frac{1}{\omega C}=L/C=X_0^2$ 与频率无关。

幅值峰 ${\omega }_{pk}$——$|Z|$ 取极大的频率，峰值记 $Z_{max}=|Z({\omega }_{pk})|$。它有精确闭式:换元 $s={\omega }^2$ 后

$$|Z{|}^2=\frac{\left(r_L^2+s{L}^2\right)\left(r_C^{2}s+\frac{1}{C^2}\right)}{s(r_L+r_C{)}^2+{\left(sL-\frac{1}{C}\right)}^2}$$

分子分母同为 $s$ 的二次式。对 $s$ 求导置零后三次项自动相消，只剩一个二次方程，故 ${\omega }_{pk}$ 是二次方程的根;同理令 $|Z{|}^2=Z_{max}^2/2$ 也是 $s$ 的二次方程，两根即 $f_1$ 与 $f_2$。整条 3 dB 带宽因此精确可解，只是表达式不紧凑，实用中直接解二次方程即可。

高 Q 下两者重合，$Z_{max}\to R_d$、${\omega }_{pk}\to {\omega }_r\to {\omega }_0$。低 Q 下分离，且分离方式极不对称。数值例（$r_L=0.3\Omega$ 固定、$X_0=24.87\Omega$、$f_0=64$ MHz、扫 $r_C$）:

$r_C$ (Ω)	$Q_C$	$f_r$ (MHz)	$R_d$ (Ω)	$f_{pk}$ (MHz)	$Z_{max}$ (Ω)	$Z_{max}/R_d$
0.5	49.7	64.01	773.2	64.00	773.2	1.000
4	6.22	64.84	144.1	64.01	145.7	1.011
8	3.11	67.59	74.8	64.17	78.3	1.047
15	1.66	80.24	40.7	65.71	47.4	1.164
20.8	1.20	116.76	29.6	69.63	38.9	1.313

跑掉的是零电抗点，幅值峰几乎不动:$f_r$ 从 64 冲到 117 MHz，$f_{pk}$ 只从 64.0 走到 69.6 MHz。同时 $R_d$ 低估真实峰值达 31%。

由此:3 dB 判据取 $Z_{max}/\sqrt{2}$，不取 $R_d/\sqrt{2}$。$R_d$ 有闭式、便于手算，但它只是零电抗点上的阻抗值;高 Q 下拿它当峰值可以，低 Q 下不行。

两条曲线随 $r_C$ 增大而分离:上支为真实峰值 $Z_{max}$,下支为零电抗点上的 $R_d$。$r_C$ 小时二者重合,$r_C$ 大时 $R_d$ 明显偏低——这就是判据必须取 $Z_{max}/\sqrt{2}$ 的原因。

三条边界

1. 两个半功率点各由一侧的电阻把守

判据线为 $Z_{max}/\sqrt{2}$，两端基座为 $r_L$ 与 $r_C$，故两个交点的存在条件分开:

$$\begin{array}{rl}{f}_1\text{存在}& ⟺\frac{Z_{max}}{\sqrt{2}}>r_L,\\ f_2\text{存在}& ⟺\frac{Z_{max}}{\sqrt{2}}>r_C\end{array}$$

低频侧的 $f_1$ 只由 $r_L$ 把守，高频侧的 $f_2$ 只由 $r_C$ 把守;抬高哪条支路的损耗，就先失去哪一侧的半功率点。这是两个电阻作用最不对称之处——对照之下 $R_d$ 对 $r_L\leftrightarrow r_C$ 是精确对称的（只经由和与积进入）。

抬高 $r_L$ 到 20 Ω:左端基座随之抬到 20 Ω、右端仍是 $r_C=6$ Ω,受威胁的是低频侧的 $f_1$。白点(幅值峰)已明显偏离红点($R_d$)。

抬高 $r_C$ 到 21 Ω:右端基座随之抬到 21 Ω、左端仍是 $r_L=4$ Ω,受威胁的是高频侧的 $f_2$。两图峰高分别为 32.0 与 33.6 Ω、相差不足 5%,而基座各抬一侧——基座的单侧性与峰高的近似对称由此并存。

高 Q 下 $Z_{max}\to R_d$，代入其闭式得到便于手算的保守估计:

$$\begin{array}{rl}\sqrt{2}{r}_L^2+(\sqrt{2}-1)r_L{r}_C& <X_0^2(f_1),\\ \sqrt{2}{r}_C^2+(\sqrt{2}-1)r_L{r}_C& <X_0^2(f_2)\end{array}$$

另一电阻趋零时阈值为 $r<X_0/2^{1/4}\approx 0.841X_0$，即该支路 $Q>2^{1/4}\approx 1.19$。低 Q 下这两式偏保守——真实峰高于 $R_d$，交点比它预测的更晚消失。

2. 交点是发散着消失的，不是收缩着消失的

逼近阈值时判据线随峰下沉、基座上抬，两者相遇之前交点已被推向无穷:$f_2\to \infty$、$\Delta f\to \infty$、$Q_{BW}\to 0$。

“3 dB 带宽很宽”在低 Q 下因此不代表滤波有效，只说明峰已塌到接近基座。判断陷波是否还起作用要看 $Z_{max}$ 相对基座的高度，不能看 $\Delta f$。

3. 零电抗点消失 ≠ 陷波消失

${\omega }_r$ 的表达式在 $r_C>X_0>r_L$ 时根号内为负，不存在纯实阻抗点。但此时 $|Z|$ 仍有峰，陷波并未瓦解。同一数值例（$r_L=0.3\Omega$、$X_0=24.87\Omega$）三个阈值依次为:

事件	阈值 $r_C$	判据
零电抗点 ${\omega }_r$ 消失	24.87 Ω	$Q_C=1$
高频半功率点 $f_2$ 消失	≈ 25.3 Ω	$Z_{max}/\sqrt{2}=r_C$
$|Z|$ 的内部峰本身消失	38–40 Ω	曲线单调趋于基座

超过最后一个阈值，$|Z|$ 单调上升趋于 $r_C$，回路退化为一条串了电阻的电感支路，不再是陷波器。

附:半功率点关于峰不对称

经典并联 RLC（损耗以单个并联电阻表示）中 $f_1{f}_2=f_0^2$ 精确成立，即两点关于 $f_0$ 几何对称而非算术对称。双支路串联损耗模型不精确满足该关系，偏离随 Q 降低而增大。低 Q 下用 $f_{pk}\pm \Delta f/2$ 估计半功率点会有可观误差，应按上文的二次方程精确求解。若改用数值求根，须注意 $|Z|$ 在峰的低频侧并非处处单调（本文数值例中 $r_C=8\Omega$ 时存在跌幅约 0.5 Ω 的局部下降段），须先在网格上包围最靠近峰的穿越点再细化。

符号:$\Delta f$ 3 dB 带宽(Hz)· $f_1,f_2$ 半功率点(Hz)· $f_{pk},{\omega }_{pk}$ 幅值峰频率· $Z_{max}$ 峰值阻抗(Ω)· $f_r,{\omega }_r$ 零电抗频率· $R_d$ 动态电阻(Ω)· ${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$ 无损谐振角频率(rad/s)· $X_0=\sqrt{L/C}$ 特征阻抗(Ω)· $r_L,r_C$ 两支路串联损耗电阻(Ω)· $Q_L=X_0/r_L$、$Q_C=X_0/r_C$ 支路品质因数(无量纲)· $Q_{BW}=f_{pk}/\Delta f$(无量纲)。

参考

• Bandwidth (signal processing) – Wikipedia:3 dB / 半功率带宽的定义与 $-3.0103$ dB 的来源。
• Q factor – Wikipedia:Q 的元件定义、能量定义与带宽定义及其等价条件。
• RLC circuit – Wikipedia:并联谐振的带宽表达式与半功率点的几何对称关系 $f_1{f}_2=f_0^2$。
• Antiresonance – Wikipedia:两支路各带损耗时反谐振频率随支路电阻的偏移，以及反谐振点与幅值极值不重合。

${\omega }_r$、$R_d$ 与 $|Z(\omega )|$ 三个闭式均经 Wolfram 符号核对（与直接化简结果作差为 0）;表中数值由同一模型数值求得，脚本见本卡资产目录 assets/half-power-bandwidth/parallel-lc-3db-bandwidth.wl。

关联

• 相关概念:equivalent-series-resistance · parallel-lc-resonance · larmor-frequency
• hazard:rf-heating · solution:filtering