mutual inductance & coil winding direction

概念

两个线圈磁耦合时,一个线圈电流产生的磁通有一部分穿过另一个线圈,这个”交叉磁链/单位电流”就是互感 M。当两线圈串联、载同一电流时,总电感不再是简单相加,而取决于两者磁通是相助还是相消——即取决于绕向。

$L_{tot}=L_1+L_2\pm 2M,M=k\sqrt{L_1{L}_2},k\in [0,1]$

• 同向绕(series-aiding,取 +):两线圈磁通沿公共轴同向叠加,$L_{tot}=L_1+L_2+2M$。
• 反向绕(series-opposing,取 −):磁通相消,$L_{tot}=L_1+L_2-2M$。
• $k$ 为耦合系数(1 = 全耦合,0 = 无耦合)。等值双线圈 $L_1=L_2=L_0$、理想耦合 $k=1$:同向 $\to 4L_0$,反向 $\to 0$。

符号:$M$ 互感(H)· $k$ 耦合系数(无量纲)· $L_0$ 单线圈自感(H)。

磁链与能量推导(符号从哪来)

两线圈的磁链:

${\lambda }_1=L_1{I}_1+M{I}_2,{\lambda }_2=M{I}_1+L_2{I}_2$

串联时同一电流 $I_1=I_2=I$,总磁链 $\lambda ={\lambda }_1+{\lambda }_2=(L_1+L_2\pm 2M)I$,故 $L_{tot}=\lambda /I=L_1+L_2\pm 2M$。等价地由储能:

$W=\frac{1}{2}{L}_1{I}^2+\frac{1}{2}{L}_2{I}^2\pm M{I}^2=\frac{1}{2}(L_1+L_2\pm 2M)I^2$

$\pm$ 的符号由绕向(几何)决定,记账工具是点规则(dot convention):电流从两线圈的同名端(点端)流入 → 磁通相助,取 +;否则取 −。同向叠加时合磁通 $\propto$ 加倍,对同一电流储能 $\propto B^2$ 变约 4 倍,故 $L$ 约 4 倍。

常见误区:楞次定律给不出这里的符号

一个易错的定性说法:“同向绕时原边电流在副边感应出反向磁场(楞次),副边出现反向电流,于是互感被降低”——这个推理在串联耦合电感里不成立,原因是把”串联的第二个线圈”错当成了”自由的副边闭合回路”。

• 变压器/两个独立回路:副边若自成闭合回路,原边电流变化确会在副边感应出反抗磁通变化的电流(楞次),该电流磁场削弱原边——这是副边电流自由、由楞次决定方向的情形。
• 串联耦合电感(本情形):两线圈是同一根导线串联,载同一强制电流 $I$,每个线圈里电流的方向由绕法与接线固定,不是楞次决定的自由感应电流。没有”副边反向电流”这回事。绕向决定两股磁通同向还是反向,从而决定 $\pm 2M$。

楞次定律正确的落点是自感反电动势:它反抗那一个共同电流的变化($V=LdI/dt$)。同向耦合时,互感磁通加进总磁链,使反抗电流变化的反电动势更大——这正是 $L$ 更大、不是更小。所以楞次定律与”同向增大 $L$“一致,前提是认清这里只有一个受迫电流、没有自由副边。

参考

• Inductance – Wikipedia:自感、互感与串联耦合电感 $L_1+L_2\pm 2M$ 的标准来源。
• Coupling coefficient of resonators / $k=M/\sqrt{L_1{L}_2}$ – Wikipedia:耦合系数定义。
• Dot convention – Wikipedia:互感符号的点规则记账。

关联

• 相关概念:parallel-lc-resonance
• hazard:rf-heating · solution:filtering